群作用与有限群中元素的共轭类问题的研究

It is an important field to investigate the structure of finite groups by using some arithmetical property of its conjugacy classes, and it has become a hot topic in finite group theory in recent years. In this project, by using the method of group action we will make some investigation to the influence of arithmetical.property of conjugacy classes on the structure of finite groups. To be specific, the following are our main contents: the influence of conjugacy class sizes of some elements on the structure of finite groups; the influence of numbers of conjugacy classes contained in some normal subgroups on the structure of finite groups. Furthermore, we also try to obtain better results by combining the topic.of conjugacy classes and graph theory and algebra combination theory. The content of this project is in front of this area and we believe that our results will have optemistic influence on group theory and its related disciplines.

应用共轭类的某些数量性质来研究有限群的结构是有限群论中的一个重要研究方向，已经成为近年来有限群论的一个研究热点。本项目将利用群作用这一研究方法来研究共轭类的数量性质对有限群的结构所产生的影响。具体来说，主要分为以下两个方面的研究内容：其一是研究有限群中某些元素的共轭类长对有限群结构产生的影响；其二是研究有限群的某些正规子群所包含的共轭类个数对有限群结构的影响。另外，我们试图将共轭类问题与图论和代数组合相结合，进而取得更好的成果。本项目所研究的课题处于该领域的前沿，相信我们的研究成果对有限群论及相关学科的发展有积极的影响。

应用共轭类的某些数量性质来研究有限群的结构是有限群论中的一个重要研究方向，已经成为近年来有限群论的一个研究热点。本项目利用群作用这一研究方法来研究共轭类的数量性质对有限群的结构所产生的影响。首先，我们研究了有限群中某些元素的共轭类长对有限群结构产生的影响；其次，我们研究了有限群的某些正规子群所包含的共轭类个数对有限群结构的影响；然后研究了TI-子群以及QTI-子群对群结构的影响；最后利用子群的共轭置换性，给出了有限群为幂零群和超可解群的条件。.具体来说，我们利用有限群中部分实元素共轭类长，给出了有限群的某些实类长满足特定条件时，有限群具有正规的Sylow 2-子群或正规的2-补；利用群中素数和双素数幂阶元的共轭类的特点，刻画了群的Sylow子群的结构；分别给出了有限群的所有正规子群包含的共轭类个数的集合是{1,m,m+1}(m>3)和{1,2,3,4,5}时有限群的结构；利用群G的非交换的极大子群的TI和QTI-性质，给出了有限群的结构；最后，利用p阶子群和循环极大子群的共轭置换性，给出了有限群为幂零群和超可解群的条件。.本项目的研究结果对于利用共轭性质研究有限群的结构提供了很好的方法，在一定程度上促进了这方面的研究进展。