Quantale结构及其应用的研究

为了研究非交换C*-代数的谱，并给量子力学提供新的数学模型，Mulvey引入了Quantale的概念。由于Quantale理论中的序结构、代数结构以及拓扑结构具有很好的协调性，使Quantale在环的理想理论、非交换的C*-代数、线性逻辑和理论计算机科学中有着广泛的应用。效应代数也是量子力学的一种数学模型，它第一次将不可精确测量的量子现象引入到量子逻辑理论的研究中，极大地促进了量子逻辑理论的发展。本项目在研究Quantale相关结构的基础上，综合利用偏序集理论和代数理论，研究Quantale与效应代数之间的内在关系和效应代数中相关问题，利用序半群的Quantale完备化讨论商序半群和序半群上两个子集可视为等价的可行行计算，以及正则剩余格结构、Z-frame结构在Quantale理论中的推广等相关问题。本研究不仅能丰富Quantale理论的研究内容，也有助于序半群理论，以及效应代数的研究。

本项目研究所取得的具体成果主要包括以下几个方面: (1) 本项目共资助发表论文36篇，其中SCI类期刊11篇，核心期刊19篇，重要期刊和ISTP检索的会议论文6篇。(2) 在本项目的支持下，本项目组成员3年间指导毕业的硕士研究生3名，参与本项目毕业的博士生2名。(3) 参与组织了“第三届计量逻辑与软计算”国际会议。(4) 课题组成员赴北京、长沙、长春、银川、武汉、南京、福州等地参加国内和国际的学术讨论会。(5) 与本项目密切相关的一篇科研论文，获得了2012年陕西省青年优秀科技论文二等奖。(6) 在本项目的资助下，两位项目组成员获得了国家留学基金委的批准，于2014年分别赴美国和加拿大访问学习一年。. 本项目的主要研究成果可分为3个方面。 1. 关于Quantale结构的数学理论研究。(i) 对于Quantale核映射和Quantale余核映射，利用Quantale单位化的技巧，给出了一个映射是Quantale核映射和Quantale理想余核的等式刻画 ([8])；(ii) 提出了伪对偶Quantale，在伪对偶Quantale 的环境下，证明了Quantale 核映射与Quantale 理想余核是一一对应的 ([11])。(iii) 研究了单位Quantale Q[e]的代数结构和序结构，给出了Quantale核映射和Quantale余核映射的在单位Quantale上的扩张 ([8])；(iv) 研究了Quantale的子Quantale和理想的数量问题，给出了子Quantale数量的一般刻画 ([2])。 这些结果完善和丰富了Quantale内部结构的理论研究。 2. 关于Quantale构造的研究。通过集合、半群和序半群，给出了Quantale的幂级构造、下集构造和理想构造。借助于这些构造，研究了Quantale范畴与半群范畴、序半群范畴之间的关系 ([1],[15])。3. 关于广义模糊代数的研究。用Quantale代替单位区间定义了广义的模糊集，称为Q-模糊集。研究了序半群上的模糊代数结构，给出了序半群上模糊理想的一般刻画；利用模糊闭包算子给出了模糊偏序集模糊并完备的一般形式 ([1],[7],[9],[13],[14],[18],[23],[25])。这些成果为进一步研究模糊代数和Quantale理论提供了有力工具。