三角范畴中挠理论与倾斜理论

In representation theory, the torsion theory and (cluster) tilting theory in triangulated categories have become popular. The aim of this project have the following three aspects: (1). The study of three kinds of rigid objects (subcategories) in triangulated categories. We want to study the existence and properties of them, the relationship between them, in particular the relationship between the cluster tilting objects and the Auslander-Retein correspondence. (2). The study of torsion theory in triangulated categories, including the properties and the construction of all kinds of torsion pairs, the analogous results and structures of classical torsion theories of abelian categories in triangulated categories, the properties and the construction of mutations of all kinds of torsion pairs. (3). The tilting theory in CY triangulated categories. We are interest in the properties and the structures of cluter tilting subcategories, the interplay between the torsion theory and the tilting theory the relationship between tilting modules and derived equivalences in tilted algebras. This project will develop and improve the torsion theory and tilting theory in triangulated categories, and offer a series of new thoughts and methods for the study of some important structures of algebras.

三角范畴中挠理论与倾斜理论是代数表示论关注的前沿热点问题之一。 本项目主要内容为：(一) 三角范畴上三类rigid对象（子范畴）的研究。 包括 cluster倾斜对象（子范畴）、极大的rigid 对象（子范畴）和完全的 rigid对象（ 子范畴）的存在性； 它们的性质与相互关系； cluster倾斜对象与Auslander-Reiten对应 的关系 。(二) 三角范畴上挠理论的研究。包括各种挠对的性质与构建方法；经典挠理论的三角形式与结构； 各种挠对确定的mutations对的性质与构造 。（三） CY三角范畴上倾斜理论的研究。包括倾斜子范畴的性质与结构；挠理论与倾斜理论的互相关系； 在倾斜代数上倾斜模的Auslander-Reiten对应；倾斜代数上倾斜模与导出等价的关系。该项目的研究将丰富与发展三角范畴中挠理论与倾斜理论， 并为一些重要的代数结构的研究提供新的思想与方法。

本项目历时四年，在这四年时间里，项目组围绕“三角范畴中挠理论与倾斜理论”做了大量的卓有成效的工作，在“Journal of Algebra” 等国际著名刊物发表了10篇SCI论文， 基本上完成了项目申请书提出的研究目标，达到了预期的效果。. 1. 我们研究并证明了2009年由著名代数表示论学家Buan-Iyama-Reiten -Scott 等人提出了的一个猜想． . 2. 我们研究并且证明了2014年由著名代数表示论学家Sam 和Snowden 提出的一个开问题。. 3． 我们在三角范畴的torsion 理论，mutation对, 倾斜理论和三角稳定范畴等方面作了系列工作．.在三角范畴中, 我们利用mutation对, 刻画了三角子商范畴再构成三角范畴的条件. 在稳定三角范畴中, 我们给出了子商范畴对构成挠偶(torsion pair)的条件. 同时，我们利用Auslander–Reiten 变换, 刻画了子商范畴对构成挠偶（torsion pair） 的条件. .在Abel范畴中, 我们引进了子范畴的mutation 对的概念.给出了子商范畴也是一个三角范畴的条件,同时给出了子商范畴有一个 Serre 函子的条件. 定义了子范畴的D-mutation 对的概念。 当(Z,Z) 是Abel 范畴 A中一个 D-mutation 对， 我们证明其商范畴Z/D自然的导出了一个三角结构。我们的结果推广了由 Happel给出的商三角范畴的结构. 并且给出了Abel 范畴 A中cotorsion 对与商范畴Z/D中cotorsion 对的一一对应，研究了mutation 对中子范畴的同调有限性。 . 4．我们在相对同调方面做了一些工作．. 我们知道一个环R是左Noetherian当且仅当每个左R-模有一个内射（预）盖． 我们把这个结果推广到相对疑聚环与相对内射盖的情形． 由此得给出了一些经典环的刻画． 我们推广了由Auslander-Solberg引进了有限生成的倾斜模和余倾斜模, 引进了无限生成的Gorenstein 倾斜模和余倾斜模. 给出了相对Gorenstein 倾斜模和余倾斜模的刻画. 我们引进了强FP-内射的概念。利用强FP-内射模,我们对 (预)包络和（预）覆盖强进行了研究, 并且刻画了凝聚环。