杨表、树与格路上相关统计量的计数

Enumerations on structures such as tableaux, trees, lattice paths and permutations, and their related statistics are very popular topics in combinatorics during the recent decades. There are application backgrounds of these problems in computer science and bioinformatics. In this project we will work on enumeration problems of these structures by constructive methods. We will mainly concentrate on the following problems: Enumerating major index and amajor index of tableaux of a given shape, the symmetry and unimodality of the resulting major/amajor polynomials, statistics on lattice paths and their relation with Young tableaux in a (k,l)-hook, uniform distribution on lattice paths with restrictions, and enumerations on trees with restriction on the degree of vertices;

关于排列、杨表、格路与树等组合结构及相关统计量的研究是当前国际上计数组合学研究的热点问题。这些问题不仅与代数、几何等其它数学分支联系紧密，并且在计算机科学和分子生物学等领域有广泛的应用背景。本项目中我们将致力于用构造性方法研究这些结构及其上统计量的计数。具体内容包括给定形状的杨表的上的major和amajor指标的计数，major多项式与amajor多项式的对称性与单峰性，格路中的统计量与限制钩长形状的杨表的计数，给定限制条件的格路的均匀分布，以及树的计数等问题。

关于各类组合结构及相关统计量的研究是当前国际上计数组合学研究的热点问题，这些问题在计算机算法等领域有着广泛的应用背景。本项目中我们采用构造性方法重点研究了杨表、格路、排列与字及树等组合结构上的统计量的计数。主要研究成果包括：给出了不超过两行的行递增杨表的major指标多项式与amajor指标多项式的计数公式以及他们之间的映射关系；研究了不超过两行的行递增杨表与递增杨表，以及一些斜标准杨表中的下降指标的计数；构造了（2，1）-hook中的标准杨表与自由Motzkin路双射从而解决了Regev提出的公开问题；研究了平面树与k叉树中给定出度的点的计数；研究了Callan排列与奇数阶排列的关系，并给出了关于这两类排列的计数的细分结果；研究了 k-Callan排列的计数及其逆序数的 q多项式。