双有理算术代数几何

The theory of birational invariants on schemes is a classical topic in algebraic geometry. It plays a central role in the classification of algebraic varieties. Birational arithmetic geometry is the arithmetic version of this theory, which is a rising branch of the arithmetic geometry. Recently progresses of the birational arithmetic geometry include the arithmetic Fujita approximation theorem and the continuous differentiability of the arithmetic volume function etc. These results can be applied in the study of the equidistribution problem for algebric points in an arithmetic projective variety. Some fundamental problems in birational arithmetic geometry such as estimations of the arithmetic linear systems are demanding researches. We expect that the solution of these problems will not only promote the development of the arithmetic geomety, but also lead to considerable applications in number theory. We plan to carry out researches, with the support of NSFC, on subjects such as local and global positivity of normed line bundles, effective estimations of the arithmetic Hilbert-Samuel function, and birational invariants of adelically normed line bundles.

概形上双有理不变量理论是代数几何领域中的经典方向, 在代数簇的分类问题上具有核心地位. 双有理算术几何是这一理论的算术版本, 是算术几何的新兴分支. 近年来双有理算术几何的重要突破包括算术藤田逼近定理，以及算术容量函数的连续可微性等结果. 这些成果可被应用于研究算术射影簇中代数点的匀称分布问题. 双有理算术几何中有一些基本问题亟待研究, 比如算术线性系的估计等. 可以预见这些问题的解决不仅可以推动算术几何自身的发展, 在数论中也将会有长足的应用. 我们计划在国家自然科学基金的支持下, 围绕赋范线丛的局部与整体正性质, 算术 Hilbert-Samuel 函数的实效估计, Adele 赋范线丛的双有理不变量等问题开展研究。

本项目研究了算术射影簇的双有理几何，围绕算术容量函数，算术线丛的局部正性质，渐近极大斜率，分次线性系等课题开展研究，发展了一系列新的数学工具，包括算术几何的概率方法，Seshadri 函数，函数域上算术几何在双有理代数几何中的应用，p-进解析流形上赋范线丛等。通过将这些数学工具应用于算术射影簇双有理不变量的研究，项目获得了重要的研究成果，揭示了算术容量函数新的几何性质，证明了相对 Brunn-Minkowski 不等式；提出了算术线丛局部正性质的数值刻画并建立了其与整体正性质的关系；得到了算术张量丛极大斜率新的上界估计并证明了其半稳定猜想的一些特殊情形；发展了拟有效算术除子有效性的判别方法；建立了分次线性系 Hilbert-Samuel 函数新的实效上界估计并应用到算术射影簇的研究之中。项目还研究了复解析流形和 p-进解析流形上线丛度量变换的谱分布，p-进解析流形上正定赋范线丛的范数拓展性质，以及局部域的 Galois 表示等相关课题，为项目主要科学目标的达成提供了有力的支持。 ..项目按计划组织了学术活动，包括主题学期，学术会议和暑期学校等，邀请了国内和国际算术几何的专家前来讲课或作报告。通过进行学术交流达到了学习最新研究进展，交流学术思想和研究成果的目标，保证了项目的顺利进行。这些学术活动还促进了学生及青年学者与专家们的交流。项目组成员还积极参与和项目主题相关的学术活动，传播项目获得的研究成果。..本项目获得了依托单位北京大学的支持，运行上厉行节约，充分利用依托单位良好的环境和硬件条件，为国家节省了经费。..综上，本项目按计划运行，获得了预期的研究成果，达到了预定的目标。