低差分密码函数的差分谱及相关编码

Cryptographic functions with low differential uniformity play an important role in cryptography due to their good differential uniformity. For example, they can effectively resist the difference attack. The differential spectrum of a cryptographic function with low differential uniformity can show the differential properties more comprehensively and can indicate the ability of the function to resist some variants of differential cryptanalysis, such as truncated differential attacks. In coding theory, cryptographic functions with low differential uniformity can be used to construct error-correcting codes with optimal parameters. The main objective of this project is to study differential spectra of cryptographic functions with low differential uniformity and their related codes based on the theory of finite fields, exponential sums and interleaving technique. To achieve this goal, we will first study the differential spectra of 4-uniform functions, 6-uniform functions over finite fields with characteristic 2. Secondly, we will study the differential spectra of almost perfect nonlinear functions over finite fields with odd characteristic. Finally, we will employ these functions and their differential spectra to obtain linear codes and cyclic codes whose parameters are optimal in the sense they meet some bounds. Research on these subjects has both important theoretical significance and application value.

低差分密码函数，由于其优良的差分均匀性，可以有效地抵抗差分攻击，在密码学中具有重要作用。密码函数的差分谱更全面地展现了其差分性质，更能够反应该密码函数对抗一些变种差分攻击的能力，如截断差分攻击等等。低差分密码函数也可应用在编码理论中，用来构造具有最优参数的纠错码。本项目拟基于有限域、指数和等理论和工具，对低差分密码函数的差分谱及其在编码理论中的应用展开深入研究：1. 研究偶特征有限域上的4差分函数、6差分函数的差分谱。2. 研究奇特征有限域上的几乎完全非线性函数的差分谱。3. 研究基于低差分密码函数的线性码和循环码，尤其是具有最优参数的线性码和循环码。本课题的研究具有重要的理论意义和应用价值。

本项目的主要研究目标是低差分密码函数及其差分谱。低差分密码函数，由于其具有较小的差分均匀度，可以有效地抵抗差分攻击，在密码学中具有重要作用。密码函数的差分谱是其参数之一，能够反应该密码函数对抗一些变种差分攻击的能力。本项目通过对代数、数论、组合学等理论和工具的综合运用，得到了以下结果：（1）构造了新的低差分密码函数；（2）求解了几类低差分密码函数的差分谱，如奇特征有限域上具有Kasami指数的幂函数的差分谱，此结果证明了曹喜望教授2016年提出的一个猜想；（3）利用低差分密码函数构造了最优三元循环码，并解决了一个丁存生教授2013年提出的公开问题。作为拓展和延伸，本项目研究了抗乘法差分攻击函数和布尔函数的二阶非线性度，得到了具有低c差分均匀度的密码函数，并改进了某些布尔函数的二阶非线性度的下界。在本项目执行期间，项目组成员共发表学术论文10篇，均为SCI期刊检索论文。