带有先验信息的总体最小二乘全局优化算法研究及在测绘中的应用

Total least squares (TLS) within the errors-in-variables model has been discussed for more than a century in geodesy, and is widely applied in geodetic problems. Assuming that the prior information representing constraints is available, the constrained TLS problem should be considered due to the stability of solution and avoiding trivial solutions. So far, it has been shown that the investigation of the TLS solution with the prior information is strongly limited, which only provides the local solution in the case of the special form of constraints and weights. In addition, the efficiency of the existing solutions depends on the number of constraints, which cannot satisfy the demand in geodesy. Therefore, the aim of this project is to numerically find the efficient global solution of the TLS problem, subject to prior information. In particular: 1) This work deals with its mathematical description and put forward its Karush–Kuhn–Tucker (KKT) conditions; 2) The standard optimization problem that is equivalent to the TLS problem with prior information is formulated and the algorithm for a local solution is established; 3) By further interpreting the proposed standard optimization problem, an global optimization method can be properly applied for the first time. By the way of project, mathematical background of the TLS problem with prior information is shown to solve this problem as well complete the TLS framework.

总体最小二乘估计是EIV模型的严密估计方法，属于现代测量数据处理领域的难点问题。当EIV模型含参数约束方程的先验信息时，必须要考虑这些先验信息从而使参数估计结果满足设定的条件或者保证估计的稳定性、避免特殊解等。目前，对带有先验信息的总体最小二乘算法的研究相当有限，仅考虑了线性和二次型约束方程以及特殊权矩阵条件下的局部最优解，并且算法计算效率受限于约束方程的数量，远远不能满足现代大地测量领域应用的需要。本项目研究一般条件下普遍适用的带有先验信息的总体最小二乘算法，具体内容包括：将带有先验信息的总体最小二乘问题归纳到统一的数学模型形式，涵括任意形式的约束方程和权矩阵；将模型求解转化为标准的附有约束的最优化问题，研究快速、可靠的局部最优解算法；针对标准形式的最优化问题，首次提出带有先验信息的总体最小二乘的全局最优解算法。研究成果对总体最小二乘估计理论具有重要理论贡献和应用价值。

总体最小二乘估计（TLS，total least squares）是EIV（Errors-In-Variables）模型的严密估计方法，属于现代测量数据处理领域的难点和热点问题。众多EIV模型包含参数丰富的先验信息，因此，在模型估计时必须要考虑这些先验信息从而使参数估计结果满足设定的条件或者保证估计的稳定性、避免特殊解等。项目针对带有先验信息的EIV模型估计仅考虑线性和二次型约束以及特殊权矩阵条件下的局部最优解等问题开展研究，研究内容和成果包括：基于最优化基础理论，将先验信息的等式约束和不等式约束问题进行了统一，建立了统一的附有约束的总体最小二乘模型，有利于编程实现；将带有先验信息的EIV统一模型转化为不等式约束TLS问题，并推导了附有不等式约束的TLS（ICTLS）的卡罗需－库恩－塔克(KKT)条件，创新性的提出了一个新的无约束加权TLS目标函数导出形式上更为简便、效率更高的算法求解ICTLS问题，提出了基于活跃数据列的ICTLS算法（非穷尽法）以及 基于SQP的ICWTLS算法等两类算法，并对ICWTLS解的KKT方程的完备性进行了分析；通过将带有约束的EIV模型线性化为QP问题求解，提出了基于ECTLS的带有先验信息的总体最小二乘迭代算法；以惩罚函数理论为基础，通过将带有先验信息的总体最小二乘转换为标准的最优化问题，提出了采用模拟退火和遗传算法得到模型的全局最优解。研究成果完善了总体最小二乘估计的理论体系，在测绘及相关领域具有应用前景，对总体最小二乘估计理论具有重要理论贡献和应用价值。受本基金项目资助，共发表SCI和EI相关研究论文13篇，其中，SCI论文9篇（二区2篇），项目申请人作为第一作者或者通讯作者发表SCI论文7篇以及EI论文4篇。