带自旋黑洞类时测地线方程的后牛顿近似求解

Motivated by the recent progress in the astronomical observations of main sequence stars whose stellar orbits are within 1 pc of the supermassive black hole at the galactic center, the timelike geodesics of the Kerr metric and a stationary, axisymmetric vacuum spacetime in general up to the second post Newtonian level are studied. A harmonic gauge formalism for the post Newtonian description of the Kerr metric will be built up to form the basis of further study. The feasibility to study the Lens Thirring effect in terms of the precession of the ecliptic plane of a star and the test of no hair theorem by means of the dynamics of stellar orbits (timelike geodesics) will be stuided in details.

近年来，随着天文观测精度的不断提高，对银河系中心黑洞周围恒星动力学的观测和相关研究不断取得进展，利用恒星动力学研究星系中心黑洞周围时空结构的性质成为可能，但至今为止还没有一个极强引力场下完整、有效的理论框架。为此，本课题将寻求Kerr时空乃至一般真空稳态轴对称黑洞时空测地线的后牛顿近似解作为出发点，建立Kerr度规及一般真空稳态轴对称度规在谐和坐标规范下的后牛顿框架，为后续的相关研究打下基础；深入研究恒星轨道平面的Lens-Thirring进动效应，建立通过恒星轨道（类时测地线）动力学来检验黑洞无毛定理的理论框架。

在国家自然科学基金委员会的支助下，对以下广义相对论数学物理问题进行研究，并阐述了相应的研究成果。..1. Penrose不等式与旋量方法。..Penrose不等式是黑洞物理学中一个重要的不等式，但一直没有得到证明。不等式成立的话将会是著名的正质量定理的推广，并将ADM质量能与黑洞区域的面积联系在一起。在现今数学相对论研究中，是一个重要，有待解决的数学物理问题。..在我们的工作中，提出了解决Penrose不等式的一个新的思路。 通过进一步发展由Witten提出的正质量定理的旋量证明，首先给出Dirac以及Sen-Witten算子的Kato-Yau类型的不等式，并给出一个新的Witten 恒等式的推广。同时指出新的Witten不等式推广和标准的Witten 不等式均为一个类似Yamabe型共形不变量的关系。在这些结果基础上，证明了ADM能量动量的下界由黑洞视界的面积半径给出（含多个黑洞，非联通视界）。这是文献中首次获得一般渐近欧几里得初始数据集的Penrose型不等式，为Penrose不等式的最后证明迈出一步。.文章已投到Physical Review Letters。...2.具有角动量的Spinors和Penrose不等式（与冯学峰和严若帝共同完成）..以Kerr度规为主要出发点，考虑一准稳态初始数据集合，证明ADM质量的下界由黑洞视界面积半径和角动量给出。 该结果可以看作黑洞力学的广义第一定律，.去掉稳态时空假设。 该证明使用旋量方法，有别于一般标准证明，对Witten恒等式进行了2 + 1分解的新方法。这项工作表明Penrose 不等式应该有一个包含角动量的推广。 ...3. Kerr度规在1.5 PN近似情况的类时测地线求解。..基于研究我们银河系中心Srg * A黑洞周围的恒星动力学和相关天文学的考虑，研究了Kerr时空中，类时测地线的后牛顿1.5阶近似。..在我们的工作中，构建了时空测地线的基本汉密尔顿框架。计算出1.5PN的四个守恒量具体表达式。对于Schwarzschild度量，详细研究了相空间的整体拓扑结构，并给出作用-角变量。这为随后在银马座黑洞天文学的应用奠定了基础。下一步是应用到理解同宿轨道，Srg * A超大质量黑洞的角动量的测量以及超大质量黑体附近的恒星动力学对黑洞的时空结构的扰动等。