基于周期系统的周期离散时间代数Riccati方程及其相关问题的研究

The periodic system is one of the most important topics in the control field and periodic discrete-time algebraic Riccati equations play a key role in stability analysis of the periodic discrete-time linear optimal control prolem. This project firstly studies numerical methods for periodic discrete-time algebraic Riccati equations in terms of the dual structure, that is, periodic structure and symplectic structure or J-orthognal structure. The main research contents include: (1) The geometry theory of the periodic discrete-time algebraic Riccati equations is established systematically with rational matrix functions; (2) Structure-preserving algorithms for periodic discrete-time algebraic Riccati equations are obtained by establishing periodic Schur decompositions with symplectic or J-orthognal structures; (3) perturbation analysis and numerical methods for periodic linear matrix equations are studied; The research results will provide a theoretical basis and stable numerical methods for the periodic discrete-time linear optimal control problem.

周期系统是控制领域研究的一个重要课题，而周期离散时间代数Riccati方程在周期离散时间线性系统最优控制问题的稳定性分析中具有决定性的作用。本课题首次从双重结构---周期结构与symplectic结构或J-正交结构的角度出发研究周期离散时间代数Riccati方程的数值方法。 主要研究内容包括：(1) 用有理矩阵函数系统地建立周期离散时间代数Riccati方程的几何理论；(2) 通过研究带有symplectic结构或J-正交结构的周期矩阵的Schur分解方法获得周期离散时间代数Riccati方程的保结构的算法；(3) 研究周期线性矩阵方程扰动分析与数值算法。研究结果将为周期系统最优控制问题提供理论依据和稳定的数值方法。

周期离散时间代数 Riccati 方程来源于周期离散时间线性系统最优控制问题，它的主要研究内容包括：周期特征值的理论与算法、周期 Riccati 方程的扰动分析和数值方法和相关的周期矩阵方程的理论与数值方法等等。在本项目的研究中我们获得如下重要成果。 . 在周期特征值问题的算法方面：我们导出周期矩阵特征值问题的两侧 Rayleigh 商迭代，并证明这一迭代的三次收敛性质；我们也对来源于经济数学中的非负广义矩阵对的最大特征值的计算提出了 Noda 迭代算法和非精确的 Noda 迭代算法，分析了它们的收敛性。 在逆特征值问题的算法方面：我们提出了精确的和非精确的两步 Newton 迭代算法求解对称的逆特征值问题，这一算法的好处在于用少计算量的代价得到较快的收敛速度; 随后我们也将这一算法推广到逆奇异值问题上；在理论上我们也给出了逆奇异值问题处处不可解的一个充分条析。在特征值的扰动分析方面：我们分析了重广义非零奇异值的条件数, 导出了该条件数的清晰的表达式；我们对正交投影和广义逆的扰动界获得进一步的新的结果，它们改进了以往相应存在的结果。另外周期矩阵方程的研究方面：我们对几类周期矩阵 Sylvester 方程提出周期矩阵对的分离度概念，并导出分离度的上界和下界。最后我们对几个矩阵积的广义逆也获得一些新的研究成果。. 周期特征值问题的两侧 Rayleigh 商迭代是计算特征值的一个加速算法，它具有三阶收敛性质，可应用于周期线性系统中特征值的计算；也为小规模的周期矩阵特征值的 QR 迭代中的位移提供一个好的方法。求非负矩阵对的最大特征值的 Noda 迭代算法为计算来自经济的Sraffa模型中的特征值提供一个保结构的算法。而周期矩阵Sylvester方程中的分离度的研究可应用于周期特征值问题不变子空间的扰动分析。