分数布朗运动驱动带Markov切换的随机微分方程研究

Stochastic differential equations driven by fractional Brownian motion with Markovian switching contain many stochastic.models which have theoretical significance and wide application background in mathematical finance, communication networks and biology. We mainly study sevral problems about it, which consist of three aspects: 1. By using the integral representation of fractional Brownian motion with different parameters, the existence and uniqueness of weak solutions for stochastic differential equations with Markov switching driven by fractional Brownian motion 1/2 < H < 1 under linear growth conditions are established; 2. Using pathwise approach of Riemann-Stieltjes integral, showing the Holder continuity and estimating on the bound of the Holder norm of strong solution for stochastic differential equations driven by fractional Brownian motion with Markov switching, and obtaining some sufficient and necessary conditions on viability properties of some non-empty closed sets with respect to stochastic differential equations driven by fractional Brownian motion with Markov switching by using tangent cone;the viability property; 3. By estiblishing some new integral estimates on intgral with respect to fractional Q-Brownian motion 0 < H < 1/2, the average principle of stochastic delay equations with Markov switching for the diffusion term driven by fractional Q-Brownian motion 0 < H < 1/2 is discussed.

分数布朗运动驱动带Markov切换的随机微分方程包含了很多在数理金融、通信网络和生物学等领域有着重要应用的随机模型，具有重要的应用背景. 本项目拟研究这类方程的几个相关问题，具体包含三个方面：1. 利用不同参数分数布朗运动之间的积分表示关系，在线性增长条件下对1/2<H<1分数布朗运动驱动带Markov切换的随机微分方程建立弱解的存在唯一性；2. 在轨道定义的Riemann-Stieltjes积分意义下，证明分数布朗运动驱动带Markov切换的随机微分方程强解的Hölder连续性、估计Hölder范数的界，使用切锥方法获得强解对一些非空闭集具有可行性的充分必要条件；3. 建立一些新的关于0<H<1/2分数Q-布朗运动的积分估计，探讨0<H<1/2分数Q-布朗运动驱动扩散项也带Markov切换的随机时滞方程的平均原理.

本项目主要研究了分数布朗运动驱动的随机微分方程解的相关问题，具体包括以下三个方面：.1、解的存在唯一性：我们使用不同Hurst参数的分数布朗运动之间的积分表示关系，通过把Hurst参数大于1/2的分数布朗运动使用Girsanov定理转化为对Hurst参数小于1/2的分数布朗运动使用Girsanov定理，从而在一些较弱的条件下，对一类Hurst参数大于1/2的分数布朗运动驱动的随机微分方程建立了弱解的存在性及轨道的唯一性定理；使用Perov's不动点定理，分别对Hurst参数大于1/2的分数布朗运动和Hurst参数小于1/2的分数布朗运动驱动的耦合中立型随机时滞偏微分方程建立适度解的存在唯一性定理。.2、解的不变性：通过建立一些新的积分估计，对Hurst参数大于1/2分数布朗运动驱动的带无穷时滞的随机微分方程在轨道积分意义下给出了一些解具有可行性和不变性的充要条件；通过建立一些新的误差估计和随机切锥，对一类Hurst参数大于1/2分数布朗运动驱动的随机耦合微分方程给出了一些解具有可行性和不变性的充要条件，并对一些特殊的闭集比如圆盘等给出了一些具体的条件；使用一些逼近技巧，对由布朗运动和分数布朗运动驱动的混合型随机微分方程建立了解对闭集具有可行性的充要条件。.3、稳定性、全局吸收集：利用比较原理和反证法，对带无穷时滞的随机泛函微分方程和中立型随机泛函微分方程的解的均方指数稳的定性提出一种新方法。研究了随机偏微分方程以及带跳的随机偏微分方程解的全局吸收集和指数稳定性；研究了由时间变化的布朗运动驱动的一类随机泛函微分方程，给出了该方程的全局吸引集存在的一些充分条件。.4、传输不等式：对分数布朗运动使用Girsanov定理，利用Markov切换过程的性质建立一些关于解对时间变量的Hold连续性估计，对带Markov切换的重扰动的随机微分方程一致度量和L2度量下建立了传输不等式。.总之，在基金项目的资助下，我们发表了SCI收录论文11篇，核心期刊论文3篇。