统计参数估计的信息几何方法

Statistical parameter estimation, which has found widely applications in the areas of radar, sonar, speech, communications and automatic control, is an important branch of statistics and signal processing. The accuracy of estimators and estimation algorithms are two core issues of statistical parameter estimation problems. According to the basic theory of statistical estimation, the Cramér-Rao lower bound is usually not achieveable for nonlinear parameter estimation problems, which indicates that there is information loss during the parameter estimation process. Therefore, the conventional theory of accuracy of estimators and optimal estimation algorithms has limitations in a certain extent, which requires advanced mathematical tools to analyze. . Information Geometry is the fundamental and cutting-edge discipline in the field of information science, which studies statistical problems on manifolds of probability distributions using the methods of differential geometry. The underlying project is to explore optimal nonlinear estimation algorithms via theory of information geometry, in which statistical properties of measurement model are translated into geometric structures of manifolds of probability distributions, while the parameter estimation problems are regarded as geometric projection in statistical manifolds. Three important issues, including information-geometric expressions of statistical parameter estimationproblems, information loss of estimation and optimal estimation algorithms, are to be studied in the project. The studies in this project provide new developments in signal processing.

统计参数估计是统计学和信号处理的一个重要分支，广泛应用于雷达、声纳、语音、通信、自动控制等领域。参数估计精度与估计方法是统计参数估计的两个核心问题。根据经典的估计理论，对于非线性测量的参数估计问题，估计精度通常无法达到Cramér-Rao下界，表明参数估计过程中存在着信息的“损失”，传统的估计算法与估计精度描述方法均存在一定的局限性，需要采用新的数学工具从更本质的层面上对上述理论问题进行研究。 . 本项目拟以信息几何理论为工具，将参数估计测量模型的统计特性“翻译”为概率分布流形的几何结构，将参数估计问题转化为统计流形中的几何投影问题，采用信息几何方法寻求非线性测量模型的最优参数估计。重点研究统计参数估计问题的信息几何表征、估计的信息损失、最优估计算法等科学问题，推动信号处理理论与方法的创新。

统计参数估计是统计学和信号处理中广泛涉及的基础理论问题。通常，线性参数估计问题都可以采用经典的理论与方法得到最优解。然而，随着问题的日益复杂，非线性逐渐成为参数估计面临的难点和挑战。项目以信息几何理论为工具，在概率分布流形上采用现代微分几何方法，对统计参数估计问题的信息几何表征、估计的信息损失与估计精度、最优估计方法等基础理论问题，开展了创新性研究。. 在统计参数估计问题的信息几何表征方面，采用参数化概率分布族构成的统计流形，建立了测量模型的信息几何描述。针对弯曲指数分布族参数估计问题，研究了最大似然估计的信息几何表示方法，将估计问题建模为流形上的几何投影问题，为参数估计问题的几何求解奠定了基础。. 在统计参数估计的信息损失与估计精度方面，研究了参数估计信息损失的基本理论，阐述了非线性估计一阶有效估计量与二阶信息损失的概念，建立了信息损失与测量模型统计曲率之间的联系。研究了弯曲高斯分布参数估计和基于距离-角度测量的目标定位中的二阶信息损失，定量计算了观测模型的非线性带来的固有信息损失，得到了相比经典CRLB更确切的估计方差下界。. 在统计参数估计方法方面，针对弯曲指数分布族参数估计问题，提出了基于统计流形上自然梯度的迭代最大似然估计（NG-MLE）算法。基于信息几何α-联络及对偶几何框架，给出了非线性参数估计的信息几何解释，并对算法的收敛性进行了分析。将算法应用于相位干涉定位系统（RIPS）的参数估计问题，并对算法的估计性能进行了仿真分析。. 本项目在信息几何理论框架下，以全新的视角研究了非线性参数估计问题，研究成果具有重要的理论创新，为雷达、声呐、语音、通信等领域广泛涉及的非线性参数估计问题的解决提供了有力的理论支撑。在本项目支持下，项目组在IEEE、IET等国际期刊和会议发表论文26篇，其中，SCI检索论文15篇，EI检索论文11篇，授权国防专利3项，培养博士/硕士研究生3名，参加国际学术会议6次，项目负责人入选国防科学技术大学青年拔尖人才培养对象，逐步成长为信息几何方向学术带头人。