麦克斯韦界面问题的虚元法及其快速求解

Maxwell's equations are a set of partial differential equations that, together with the Lorentz law, form the foundation of classical electromagnetism, electric circuits and classical optics. In this program, we will focus on the design and analysis of discrete methods for Maxwell's interface problems, where the discrete method we designed will be based on virtual element method, will naturally preserve the Gauss law for magnetic, will allow polytopal meshes, and will be solved magnetic field and electric field coupling. We will also design and analyze of preconditioners for the discrete saddle point systems. And finally, we will apply our discrete methods and preconditioners to magnetohydrodynamicals interface problems.

麦克斯韦方程是经典电磁学、电路学以及经典光学等领域的基本方程，也是计算数学领域研究的热点问题之一。对麦克斯韦方程数值算法的深入研究有利于支撑相关科学问题与计算方法的发展，具有重要的理论意义和应用价值。本项目拟发展一种可直接求解磁电耦合的麦克斯韦界面问题的，能严格保持磁高斯定律的虚元法；系统设计和分析相应离散线性系统的高效预处理算法；将相应研究成果应用到磁流体动力学界面问题中，为磁流体动力学的界面问题设计离散方法，并设计离散线性系统的快速求解算法。

麦克斯韦方程是经典电磁学、电路学以及经典光学等领域的基本方程，也是计算数学领域研究的热点问题之一。麦克斯韦方程作为一类特殊的波动方程，其数值方法的研究具有重要的理论意义和应用价值。项目系统研究了线性波动方程的抽象模型---Hodge波动方程，通过有限元外微分法和时间连续伽辽金方法，得到Hodge波动方程的自然严格保持能量守恒的半离散和全离散格式，通过构造基于投影的拟插值算子，得到离散方法的最优收敛性。将该方法应用于Hodge波动方程的特殊情形麦克斯韦方程时，能够得到自然保持磁高斯定律的和能量守恒的半离散和全离散方法；项目系统研究了非线性波动方程Sine-Gordon方程基于有限元外微分和SAV方法的离散格式，得到了线性隐式的、自然保持能量守恒的离散方法，并给出方法的收敛性分析；项目系统研究了各向异性线弹性方程离散系统的多重网格算法，给出了算法的收敛性分析；项目系统研究了Biot方程基于虚元法的离散方法，该离散方法能够自然保持流体速度的无散性。