有向图的Balaban指标优化与计算

Graph theory is applied widely to the research of combinatorial chemistry. Topological indices of molecules are one of most active areas in modern chemistry. The Balaban index was proposed by international famous chemist A. T. Balaban in 1982. It has been an important chemial index which can describe some physical and chemical properties perfectly. Based on the Balaban index of graphs,the Balaban index of digraphs was proposed and found that some similar properties as the Balaban index of graphs. Especially, the closed relations between the Balaban index of digraphs and the eigenvalues of their weighted Laplacian matrices have been found so that the corresponding spectrum theory can be applied.In this project, determine the graphs with the extremal Balaban index among the strong digraphs with n vertices by researching the structure properties of digraphs and using the weighted Laplacian matrix of digraphs,the median order of vertices of digraph and the decomposition of directed path. And using the method of group theory to deduce the formula of computing the Balaban index of strong digraphs. The problems studied in this project are very difficult in the optimization on the Balaban index of digraphs. The results of the research will promote the development of the theory of optimization on the Balaban index better.

图论广泛应用于组合化学问题研究，而分子拓扑指标是现代化学图论最活跃的研究领域之一。Balaban指标是1982年由国际著名有机化学家A.T.Balabn提出的，经过广泛应用，已经成为一类能完美刻画分子化学物理性质的重要的化学指标。基于图的Balaban指标，有向图的Balaban指标被提出，而且发现一些与图的Balaban指标类似的性质。特别地，已发现有向图的Balaban指标与有向图的赋权拉普拉斯矩阵的特征根存在紧密的关系，从而可以使用图谱理论。本项目通过研究有向图的结构性质，应用有向图的赋权拉普拉斯矩阵、有向图的中位排序，有向路分解等来确定在相同顶点数的强连通有向图的Balaban指标极值图。同时考虑使用群论的方法导出强连通有向图的Balaban指标计算公式。本项目所研究的是有向图的Balaban指标优化中出现的非常困难的问题，这些问题的研究成果能更好地促进该指标优化的发展。

图论广泛应用于组合化学问题研究，而分子拓扑指标是现代化学图论最活跃的研究领域之一。Balaban指标是1982年由国际著名有机化学家A.T.Balabn提出的，经过广泛应用，已经成为一类能完美刻画分子化学物理性质的重要的化学指标。.本项目通过研究有向图的结构性质，我们刻画了Balaban指标的极值图和计算问题，以及将研究Balaban指标问题的思想和方法作了有意义的推广。. 首先，本项目在研究有向图的性质过程中我们发现可以使用赋权拉普拉斯矩阵来研究Balaban指标，进而利用赋权拉普拉斯矩阵的特征根给出Balaban指标的计算公式。.由此公式可知，Balaban指标可以通过代数手段进行研究，从而丰富了Balaban指标的研究内容和方法。同时利用赋权拉普拉斯矩阵的特征根，我们给出了Balaban指标的若干紧的上界和下界。. 其次，给出连通的3-正则图的Balaban指标的一个上界，然后对M. Knor和R. Skrekovski等人介绍的两类3-正则图，分别给出它们的Balaban指标计算公式和上界, 从而改进了M. Knor等人在MATCH Commun. Math. Comput. Chem., 2015, 73(2), 519-528.给出的结果。.进一步的，在相同顶点数的正则强连通有向图里，给出若干Balaban指标的上界。. 最后，将本项目的研究Balaban指标所用到的极限和渐进界的思想和方法推广到研究图的边界能量，进而对边界能量图进行了深入的研究，得到相关重要的结果。.本项目发表科研论文4篇，其中SCI收录期刊上发表3篇。项目组成员参加多次学术会议。