《关于双曲率曲线研究》的译注及研究

The book “Recherches sur les courbes a double courbure”, published by Clairaut in 1731 is the first work of three-dimensional differential geometry in the history of modern mathematics. It is a book worth studying and exploring. This book contains four chapters. It not only defines space curves that cannot be expressed on the same plane as "curves with double curvatures", but also provides the methods to solve the tangent, normal, curvature and arc length of a space curve. The rich contents cover almost all the curve research ideas in the first half of the 18th century. However, most of the current research on this work is repetitive in some general history books. In view of the historical value of this work and the research situation, this project will translate the book, try to provide reliable reference materials for readers. At the same time, we will add notes to the translated manuscript in combination with the historical background and the author's writing style, the book will be convenient for scholars to compare with modern mathematics. At last, we are going to do some specific research on this book, mainly exploring the reasons why Clairaut can solve the properties of space curves without the concept of "torsion" successfully .

法国数学家克莱罗出版于1731年的《关于双曲率曲线的研究》是近现代数学史上第一部三维微分几何学的著作，是具有突破性的研究成果，具有重要的历史地位及研究价值。这本著作共包含四个章节，不仅定义了双曲率曲线为“不能在同一个平面上描述的曲线”，即现代数学中的空间曲线，而且给出了求解空间曲线的切线、次切距、法线、曲率、弧长等的方法，内容之丰富几乎可以涵盖18世纪上半叶所有的曲线理论研究思想。但是，目前针对这一著作的研究几乎都是通史中的重复描述。有鉴于该著作的历史价值以及与之并不相称的研究现状，本项目将对《关于双曲率曲线的研究》展开翻译、注释以及研究工作，力图通过逐字逐句地翻译为读者提供可靠的参考资料，同时结合时代背景与作者的写作风格，为翻译文稿添加注释，方便学者与现代数学进行对比，最后对这本著作开展专题研究，主要挖掘克莱罗能够在没有“挠率”概念的情况下成功求解空间曲线性质的原因。

本项目主要对克莱罗出版于1731年的著作《关于双曲率曲线的研究》进行翻译、注释及研究。该著作是18世纪上半叶法国几何学的代表性著作，也是数学史上的经典原始文献之一。由于该著作具有重要的历史地位，但是却没有中文翻译版本，因而本项目以完成其中文翻译为基本目标，在此基础上，对于其中印刷及计算等错误进行校订。同时，由于原始文献年代久远，其中的数学表述及符号与现代数学存在一定差别，项目组成员在注释中予以指出，以帮助读者更好理解克莱罗的书写习惯及几何学思想。在翻译和注释的基础上，本项目针对克莱罗本人的几何学思想展开研究，认为他将当时的新工具——微分和积分应用于三维几何对象，即空间曲线的研究，是具有突破性的创举，不仅是从二维到三维的突破，同时也是从解析几何到微分几何的突破。虽然当时并没有“微分几何”这门学科，但是在克莱罗的引导下，此后的数学家们有意识地将微分和积分应用在几何学中，并由此开创了几何学的新局面。