关于负曲率完备凯勒流形的研究

本项目拟研究具有负曲率的完备凯勒流形的结构。这方面的很多重要的问题至今仍然没有实质进展。我们将主要研究与之相关的两个问题：一是复乘积流形上具有负曲率的完备凯勒度量的存在性问题，另一个是推广全纯映射的许瓦兹（Schwartz）引理，希望可以将目标空间的曲率条件减弱而得到类似的结果。与此相关的还有有关全纯映射刘维尔性质（Liouville property）的研究。本项目的研究办法主要是分析的，通过对具有负曲率的完备凯勒流形的几何分析，试图揭示负曲率条件对复结构产生怎样的约束作用。从更广的意义上说，是希望理解负曲率与复结构的关系。

本项目主要研究了以下问题：.（1）负曲率凯勒流形的结构，我们把郑方阳教授关于负曲率凯勒流形复结构的分解性结论推广到了近厄米特流形上，另外还获得具有负曲率衰减的完备凯勒流形上的刘维尔定理；.（2）几何流，获得了一般几何流上的热核估计和凯勒-里奇流的正则性结果；.（3）正曲率紧凯勒流形的直径刚性，获得凯勒流形上的Hessian比较定理和直径刚性的部分结果；.（4）Wu-Zheng的分解猜想，获得了该猜想的部分结果；.（5）近厄米特几何，获得近厄米特流形上的曲率恒等式及其应用，还有近厄米特流形上比较定理；.（6） Steklov 特征值问题，获得了环面上旋转不变度量的所有Steklov特征值的最优估计。