一类四阶非线性方程的非协调有限元方法研究

Analytical solutions of fourth order nonlinear equations are often difficult to be obtained. Therefore, designs of effective and high accuracy numerical algorithms become particularly important. Finite element method is one of the popular numerical methods in the fileds of mathematical physics, engineering mechanics, etc. This work will be dedicated to nonconforming finite element methods for a class of fourth order nonlinear reaction diffusion equation (Extended Fisher-Kolmogorov equation). We focus on convergence analysis of nonconforming elements with less degrees of freedom and high accuracy; further try to extend these results to anisotropic meshes and explore superconvergence analysis. The innovative results can enrich the system of numerical algorithm of fourth order nonlinear equations and expand the scope of application of nonconforming finite element methods.

四阶非线性方程的解析解通常难以得到，其有效高精度的数值求解方法的构造尤为重要。有限元方法是当前数学物理及工程力学等学科数值计算的主流方法之一。本项目拟对一类四阶非线性反应扩散方程（Extended Fisher-Kolmogorov方程）的非协调有限元方法进行研究，重点解决好自由度少、精度高的非协调元的收敛性分析；进一步探索将研究成果推广到各向异性网格并挖掘超收敛性。项目的创新性成果必将丰富四阶非线性方程的数值求解体系，扩大非协调元应用的范围。

四阶非线性方程的数值方法研究是目前很有挑战性的前沿热点和难点之一。本项目致力于四阶非线性Extended Fisher-Kolmogorov方程（简称EFK方程）的自由度少、精度高的非协调有限元方法研究。首先,我们建立了EFK方程的C^0连续非协调板元一致收敛定理。其次，我们提出了具有强间断性的非C^0非协调Bergan's能量正交元逼近EFK方程的一种新的误差分析方法, 并将之推广应用到另一种四阶非线性问题——板接触问题。最后我们进一步探索了EFK方程有限元方法的超收敛分析，给出了对两种不同边界条件均适用的各向异性混合元高精度分析新模式。项目的创新性成果拓展了非协调元方法在四阶非线性问题数值计算中的应用。