N体问题的一些变分最小解及相关的碰撞等问题

N-body problem is very interesting and complex,and it is a source of many mathematical theories.Although the nature variational structure of N-body problem has been known long before,but people obtained meaningful results by using variational method until recent decades.The main difficulties of problem comes from collisions of bodies.So how to avoid collision is the key point of using variational method to study N-body problem.The major breakthrough in this aspect is a famous theorem of Marchal.In addition,from the perspective of the principle of least action,variational minimizing solutions of N-body problem are very important and attractive,so people pay close attention to variational characterizations of the minimizing solutions.On the basis of previous results,we will study some variational minimizing solutions of N-body problem by using methods of analysis,algebra,geometry,and topology.On the one hand,we expect the results of Marchal could be extended to the rectilinear case;on the other hand,we will give variational characterizations of some special solutions,or the detailed character of these solutions as far as possible;also we will go on with research of the related problems of collisions and central configurations etc.We hope our work can help people better understand N-body problem.

N体问题是一个十分有趣而复杂的理论问题，也是许多数学理论的源泉。虽然人们很早就注意到N体问题有自然的变分结构，但直到最近几十年，才利用其变分结构取得有意义的结果。主要难点在于问题的碰撞奇性。所以如何避免碰撞是应用变分法研究N体问题的关键。在这方面的主要突破是归属于Marchal的著名定理。另一方面，从最小作用量原理的观点看，N体问题的变分最小解是非常重要而吸引人的,所以人们也很关心如何给出最小解的变分刻画。本项目将在已有研究成果的基础之上，综合利用分析、代数、几何和拓扑等方法研究N体问题的一些变分最小解。一方面我们期望把Marchal的结果完整推广到一维情形；另一方面我们会尽可能的给出一些特解的变分刻画，或尽可能搞清楚这些最小解的详细性状；同时对相关的碰撞及中心构型等问题继续做些研究。希望我们的工作能帮助人们更好地理解N体问题。

牛顿N体问题研究N个质点在相互之间的万有引力作用下的运动规律，其中每个质点的质量和初始位置、初始速度都是任意给定的。一般N体问题是一个十分复杂的理论问题，它是天体力学和一般力学的基本问题之一，并为天体力学各分支学科其它问题的求解提供基础。自牛顿时代以来，有大量文献对N体问题作研究。这些研究包括N体问题的特解、渐进估计、碰撞奇性分析、非碰撞奇性的存在性等。中心构型在N体问题中具有非常重要的地位，因为N体问题很多问题的最终解决，都依赖于相关的中心构型问题的解决。 . 用变分方法研究牛顿N体问题近些年非常活跃。在这些工作中，避免碰撞的关键定理是由Christian Marchal得到的: 只要物理空间的维数大于一，则在给定时间段内联结两个给定构型的所有路径中，最小化泛函的路径存在且在给定时间段内部无碰撞。我们把这个结果推广了到一维情形：在构型顺序保持不变的道路空间上，拉格朗日作用泛函有最小值点，对应于N体问题的真实解; 对一维物理空间上的等质量牛顿N体问题的固定端问题，极小解没有碰撞。. 在中心构型方面，Hampton首先提出了塔型中心构型的约束，并关于塔型中心构型提出了两个公开问题，其实质是完整的刻画5体的塔型中心构型。我们完整的刻画了任意维数空间中的塔型中心构型，这解决了Hampton提出的关于5体中心构型的问题，也发现了共圆中心构型的一些有趣的性质。. 牛顿N体问题也被推广到了常曲率空间中。我们研究了球面上的一类中心构型。我们假定构型在球面的一个大圆上，天体分别位于正多边形的顶点，我们得到了该构型成为中心构型的充要条件并研究了其动力学稳定性。. 哈密尔顿系统中，同宿轨道的存在可能预示着系统的复杂行为，因而是哈密尔顿系统的一个重要问题。Rabinowitz及其合作者引入了周期条件以及强制性条件，从而成功的应用变分法来得到了同宿解。假定势函数在无穷远满足近二次条件，我们证明了同宿解的存在性与多解性。.