随机微分博弈及其应用研究

We study the theory of stochastic differential game and its application to medical treatment，portfolio selection and reinsurance by using the stochastic optimal control theory. We discuss the leader-follower zero-sum stochastic differential game and cooperative stochastic differential game under that the control(strategy) enters into the diffusion and jump of the system. By invoking the use of the dynamic programming approach (HJB equation), martingale methods, the maximum principle, the stochastic linear-quadratic control approach, we aim to obtain the closed-form solutions or the equations for the value function, payoff distribution procedure as well as the optimal strategy. We provide some numerical examples and stochastic simulation to illustrate how the value function, payoff distribution procedure and the optimal strategy change when the model parameters vary. We also give some economic analysis. We apply the result of stochastic differentail game to the practical medical treatment, portfolio selection and reinsurance. The problem of this project is one of the central issues in the theory and practice of modern game theory. The research of this project will greatly promote the stochastic differential game, stochastic optimal control and mathematical finance theory and application development.

本项目拟利用随机最优控制理论系统研究随机微分博弈理论及其在医学治疗、投资组合和再保险中的应用。运用动态规划原理(HJB方程)，鞅方法，最大值原理，以及随机线性二次控制技巧解决扩散和跳项中含策略的主从零和随机微分博弈和合作微分博弈的最优策略选择问题，得到目标值函数，损益分布方案以及最优策略的显示表达式或所满足的方程。通过数值计算和随机模拟，找到目标值函数和最优策略与模型主要参数之间的关系，并给出相应的经济分析。同时，把所得理论结果应用到医学治疗、投资组合和再保险选择等实际问题中。该项目所研究的问题是现代博弈理论中的最新热点研究问题，是博弈论、随机最优控制以及数理金融等领域的交叉研究。该项目的研究将极大的促进随机微分博弈，随机最优控制和数理金融等理论和应用的发展。

本项目利用随机最优控制理论系统研究随机微分博弈理论及其在投资组合和再保险中的应用。. 运用随机线性二次控制技巧研究了两个投资者之间的零和随机微分投资组合博弈，在股票价格过程服从常数弹性变差(CEV)模型、Heston随机方差模型、以及无风险利率满足Vasicek利率模型下，完全解决零和随机微分投资组合博弈，分别得到目标值函数和最优策略的显示表达式。通过数值计算和随机模拟，得到目标值函数和最优策略与模型主要参数之间的关系，并给出相应的经济分析。运用动态规划原理(HJB方程)研究了保险公司与市场之间的零和随机微分投资-再保险博弈，在股票价格过程服从常数弹性变差(CEV)模型，以及期望终端财富效用最大化和均值-方差目标下，分别得到最优投资和再保险策略、市场策略和值函数的显示解。结果表明，在市场出现不确定的条件下，保险公司面临的风险会增大。. 运用动态规划原理研究了n个异质信念的投资者之间的非零和随机微分投资组合博弈，在每个投资者具有不同的投资机会集和期望终端财富效用最大化条件下，得到最优投资策略和值函数的显示表达式，得到了分散化能改善投资者期望效用的条件，以及效用损益与模型参数之间的关系。运用HJB方程方法研究了两个异质信念的投资者之间的非零和随机微分投资组合选择博弈问题，在投资者既考虑绝对投资绩效，又考虑相对投资绩效的目标下，得到了两个投资者的最优投资策略和值函数的显示解。并与仅考虑绝对投资绩效的单个投资者的投资策略和值函数进行比较，得到影响投资策略和值函数的条件。在股票价格过程服从常数弹性变差(CEV)模型下，研究了保险公司的时间一致均值--方差投资-再保险选择问题，得到时间一致最优投资-再保险策略和值函数的显示表达式。. 该项目的研究结果对投资者选择投资策略，以及保险公司选择投资-再保险策略，有着重要的应用价值。