带有非连续型纳什均衡点的随机微分博弈问题及其应用

We mainly concern, in this project, on the non-zero-sum stochastic differential game with discontinuous Nash equilibrium point in the Markovian framework. The innovation points are Nash equilibria is allowed to be discontinuous and the generators of the dual multi-dimensional backward stochastic differential equations (BSDE) are discontinuous on the volatility processes. Meanwhile, the Hamiltonians in the dual partial differential equations (PDE) are discontinuous on the first order partial derivative of the value function. We prove the existence of the discontinuous Nash equilibrium point through two methods, one is the multi-dimensional coupled BSDE system and the other one is sobolev weak solutions of coupled PDE system. With the help of backward stochastic PDE, we also generalize those results to the game problem, in which the state process is expressed by the solution of backward PDE. We try to give some explicit examples under different game models, where the discontinuous Nash equilibrium point can be expressed directly. Finally, we study the application in area of investment and reinsurance of insurance companies and give the essence of discontinuous Nash equilibrium point in economy.

该项目主要研究马尔可夫环境下几种带有非连续型纳什均衡点的非零和随机微分博弈问题。主要创新点在于纳什均衡点允许有间断点，相应的对偶高维倒向随机微分方程的生成元关于波动过程是非连续的，同时系统的哈密尔顿泛函在对偶的偏微分方程中关于值函数的一阶偏导项也是非连续的。我们借助于倒向方程组理论及偏微分方程组的加权Sobolev弱解理论两种方法来研究纳什均衡的存在性，并将结果扩展至状态过程由随机偏微分方程驱动的博弈问题中。我们将在不同的模型下尝试给出一些可以显式的写出非连续纳什均衡点的例子。最后我们研究了该理论在保险公司投资与再保险最优策略选择中的应用，并给出非连续纳什均衡点的经济学意义。

本项目主要利用高维耦合的倒向随机微分方程（BSDE），倒向随机偏微分方程(BSPDE)系统研究几类非零和随机微分博弈问题的纳什均衡点。通过分析几类状态过程的漂移项在仿射及非仿射结构下的博弈模型，我们给出了博弈问题与对应的高维耦合的倒向随机微分方程体系的关系，该方程体系的生成元关于波动过程是不连续的。我们给出了其解的存在性，从而给出了博弈问题非连续型纳什均衡点的存在性。在此框架基础上，我们将博弈参与者的风险敏感度引入到经典的博弈模型中，并研究了在系数非有界，带有随机性的情况下，博弈问题的纳什均衡点的存在性。其对应的高维耦合倒向随机微分方程的生成元关于波动过程是二次的。与以上博弈问题对偶的新型高维耦合BSDE体系的理论研究为该项目的一个创新点。由于博弈模型在非连续框架下构造，使得其对偶BSDE的生成元关于波动项是非连续的，这给求解此高维耦合方程体系带来困难。我们通过逼近序列的技巧攻克了这一困难，并给出了几类非连续型纳什均衡点的显式表达式。本项目的解决有助于我们理解一大类带有非连续生成元的高维耦合BSDE。我们还研究了状态过程由SPDE所驱动的非零和随机微分博弈问题的纳什均衡点。博弈问题历史文献多在状态方程由SDE表出框架下建立模型，而到目前为止，由SPDE表示的状态过程下的非零和随机微分博弈问题还几乎没有结果。该问题的对偶方程为高维耦合的BSPDE系统。这是首次将SPDE,BSPDE理论引入到非零和随机微分博弈中，我们给出了对应的高维耦合的BSPDE体系的解的存在性，从而给出了纳什均衡点的存在性。以上理论分析也将对高维随机偏微分方程领域的研究产生深刻的影响。本项目所研究的几类非零和随机微分博弈问题除对博弈理论及高维BSDE、BSPDE理论具有推动作用，也具有重要的经济学意义，为许多经济博弈模型提供了更广义的纳什均衡点。在保险公司投资与再保险策略分析、最优投资组合领域以及博弈期权定价及对冲策略等方向都有很多的潜在应用。