广义竞赛图中关于圈的若干问题的研究

Tournaments are one of the most important class of digraphs and have been achieved a lot of breakthrough results. Generalized tournaments，the so-called generalizations of tournaments, include locally semicomplete digraphs, arc-locally in-semicomplete digraphs, k-quasi-transitive digraphs, etc. Research into the generalized tournaments has evolved into a hot area of digraph theory during the recent years. One of the most intensively studied areas in digraph theory deals with questions concerning cycles and one particular subarea involves questions about cycles containing specified elements of a digraph. Universal arcs, vertices with pancyclic out-arcs and H-force arc sets are all closely related to this cycle problem. Therefore, research on these problems is very meaningful. In this project, we shall investigate the above problems in generalized tournaments. In detail, (1) Study the existence of a vertex whose out-arcs are pancyclic and a universal arc in the above three classes of generalized tournaments; (2) Characterize the locally semcomplete digraphs whose every arc is universal and make a real progress towards Ádám's problem “Dose every cycle-connected digraph contain a universal arc?”; (3) Characterize the minimum H-force arc set and give the H-force arc number in the above three classes of generalized tournaments.

竞赛图是有向图中最重要也是结果最丰富的一类图。广义竞赛图，即竞赛图的推广图，包括局部半完全有向图、弧局部内半完全有向图、k准传递有向图等，在近些年得到广泛研究。圈问题历来是有向图领域研究的热点，其中经过指定元素的圈问题尤为重要，而外弧泛圈点、universal弧和哈密尔顿圈强迫弧集都与经过指定元素的圈密切相关，所以对这些内容进行研究是非常有意义的。本项目将在广义竞赛图中研究这三方面内容。具体来说：（1）研究上述三种广义竞赛图外弧泛圈点和universal弧的存在性；（2）刻画每条弧都是universal弧的局部半完全有向图，并对Ádám提出的公开问题：“每个圈连通的有向图都存在universal弧吗？”取得实质性进展；（3）刻画上述三种广义竞赛图的最小哈密尔顿圈强迫弧集并计算相应的哈密尔顿圈强迫弧数。

广义竞赛图，即竞赛图的推广图，是有向图中一个非常重要的图类，拥有大量的难题和猜想。本项目主要研究了广义竞赛图中关于圈的若干问题，并取得了下述成果：.1. 研究竞赛图的泛圈性：设pt(T)表示竞赛图T中t-泛圈弧的数量，ht(T)表示竞赛图T中包含在同一个Hamilton圈中的t-泛圈弧的最大数。我们推广了Moon定理，证明了每个强连通竞赛图T都有ht(T)≥t，其中3≤t≤|V(T)|; 刻画了所有满足ht(T)=t的竞赛图，以及所有满足pt(T)=t的竞赛图。.2. 研究多部竞赛图的圈结构：我们部分解决了Volkmann的猜想，证明了r-正则的3-部竞赛图中的每条弧都包含在一个8-圈或者9-圈中，其中r≥2；证明了r-正则3-部竞赛图中每条弧都有2-外路（当r≥1），3-外路（当r≥2），5-外路（当r≥3)，6-外路（当r≥3）；刻画了存在一条弧它不在任何4-外路上的r-正则3-部竞赛图；给出了一定条件下，恰好包含n-m+1条m-圈的强连通n-部竞赛图，其中4≤m≤n-1； 解决了Gutin和Rafiey提出的问题“是否存在强连通的n-部竞赛图，使得它恰好包含n-m+1条m-圈对m取不同的两个值，其中3≤m≤n, n≥4?”。 .3. 研究局部竞赛图弧不交的Hamilton路：我们证明了除去三类特殊图外，每个强连通、但不是2-强连通的圆可分解的局部竞赛图都包含一对弧不交的Hamilton路，使得他们具有不同的起点和终点，从而部分地推广了Thomassen关于竞赛图的结果；刻画了包含一对弧不交的Hamilton路的强连通的圆有向图。.本项目的研究在一定程度上推动了广义竞赛图的研究。项目执行期间共发表学术论文7篇，在线发表学术论文2篇，国际学术交流1人次，国内学术交流2人次，培养硕士研究生2名。