一致零模的基础研究及其应用

Using an ordinal sum structure to construct new operators from t-norms and t-conorms is a well-known method. Uninorms, nullnorms and n-uninorms are obtained through this method. Letting a uninorm and a nullnorm sharing the same underlying t-conorm (resp. t-norm), we developed uni-nullnorms (resp. null-uninorms). They are a pair of dual operations like t-norms and t-conorms, and they are special classes of 2-uninorms that possess characteristics of uninorms and nullnorms. In this project, we aim to extend and generalize corresponding results of t-norms, uni-norms and nullnorms to uni-nullnorms, and discuss the characterizations, constructions, left-continuity, migrativity, residual implications and applications in fuzzy relation equations of uni-nullnorms.

从三角模和三角余模出发，利用序数和的方式构造新的算子是一种常用的方法。一致模、零模和n-一致模都是借助该方法得到的。让一致模和零模共用一个基础三角余模(三角模)，我们提出了一致零模(零一致模)的概念。它们是类似三角模和三角余模的一对对偶算子，是2-一致模的特例，并且兼具一致模和零模的性质。本项目拟将三角模、一致模和零模已有的相关研究进一步梳理、整合并推广到一致零模，探讨一致零模的刻画与构造、左连续性、迁移性、诱导的剩余蕴涵及其在模糊关系方程方面的应用。

三角模和三角余模是特殊的聚合算子，推广了模糊集上的交与并以及逻辑学中的合取与析取，在模糊逻辑、模糊集与系统、决策、数据融合和图像处理等领域均有应用。从理论和应用的角度出发，研究者对三角模和三角余模做了诸多推广，如弱边界三角模、一致模、零模、n-一致模、伪三角模、左（右）一致模、伪一致模及半一致模。三角模和三角余模是一对对偶算子，但在这些推广中，并没有类似的成对的对偶算子。让一致模和零模分别共用一个基础三角余模和基础三角模我们提出了一致零模和零一致模的概念，它们是一对对偶算子，推广了一致模和零模。对一致零模展开研究，可以将三角模、三角余模、一致模和零模的相关研究进一步推广和整合。在本项目中，我们对一致零模及相关领域展开了研究，刻画了一致零模关于一致零模的迁移性；讨论了一致零模和左连续一致零模诱导的剩余运算的性质，给出了一致零模诱导的剩余运算成为蕴涵的充要条件，并刻画了左连续一致零模诱导的剩余蕴涵。这些结果推广并整合了三角模、三角余模、一致模和零模在迁移性及诱导的剩余蕴涵方面的相关结论。我们还讨论了完备格上单调算子诱导的剩余运算，给出了单调算子及其诱导的剩余运算在交换性、结合性、单位元和零化子上的刻画，并基于这些刻画，讨论了一致模、伪一致模、左（右）一致模、半一致模与左（右）半一致模诱导的剩余运算的性质以及从剩余运算构造这些聚合算子，所得结果整合并推广了完备格上各种聚合算子诱导的剩余运算方面的相关结论。此外，我们给出了一致零模诱导的剩余运算在基于取大-一致零模合成的模糊关系方程有解性方面的应用，并从预解矩阵的角度探讨完备Brouwer格上模糊关系方程的求解，为完备Brouwer格上模糊关系方程的求解提供了一定的启示。