奇异微分方程的同宿轨与异宿轨研究

The theory of singular differential equations which is an important branch of the theory of differential equations, is the mathematical model arising in the natural science and engineering technology, and plays an important role in in celestial mechanics, fluid physics, molecular dynamics, electronics, pseudoplastic fluid theory etc. The research on homoclinic and heteroclinic orbit for singular differential equations is a novel and important topic in the field of ordinary differential equations and dynamical systems. This project aims at studying the existence of homoclinic and heteroclinic orbits for several classes of non-periodic differential equations with singular terms by using topological methods in nonlinear analysis, and obtain some new results which are different from ones in some previous papers. Furthermore, by using variational methods, combining with the method of upper and lower solutions, we shall establish a "multiplicity critical points" theorem and study the existence and multiplicity of homoclinic orbits for periodic differential equations with repulsive singular terms and impulsive effects, and explore the influence on the impulsive effects. Our goal is to further enrich and perfect the theory of singular differential equations through the above work, initially form the characteristic research idea and system, and promote the development of related disciplines.

奇异微分方程是微分方程理论的一个重要分支，是自然科学和工程技术领域抽象出来的数学模型，在天体力学、流体物理学、分子动力学、电子学、假塑性流体理论等学科有着重要的作用。奇异微分方程的同宿轨与异宿轨研究是常微分方程和动力系统领域新颖而又重要的研究课题之一。本项目旨在综合运用非线性分析中的拓扑方法，来较为系统地研究几类带有奇异项的非周期微分方程同宿轨与异宿轨的存在性，获得一些不同以往的新结果。此外，还考虑运用变分方法与上下解方法相结合建立新的多重临界点定理，研究当脉冲扰动发生时，一类二阶周期奇异微分方程同宿轨的存在性与多重性，探索脉冲扰动对同宿轨的存在性与多重性所产生的影响。我们的目标是，通过以上工作进一步丰富和完善奇异微分方程理论，初步形成有一定特色的研究思路和体系，同时促进相关学科的发展。

同宿轨与异宿轨是非线性动力学中重要的研究对象，也是分叉与混沌理论中起关键作用的因素。这两种轨道的差别在于它们是否 “起始”和“终止”于同一个平衡点。同宿轨或异宿圈的破裂是通向混沌的一条途径，在揭示动力系统的混沌性质方面起着重要的作用。此外，同宿轨和异宿轨在求解一些非线性偏微分方程的孤立波方面也有着重要应用。非线性微分方程（包括带有奇异项或非奇异项）的同宿轨与异宿轨是微分方程与动力系统理论中重要的研究课题。近年来，国内外学者围绕此项课题做了大量工作，取得了一些重要成果。本项目综合运用非线性分析工具研究了带有谱点零的一阶周期哈密尔顿系统的同宿轨、带有半正定矩阵的二阶哈密尔顿系统同宿轨的多重性与集中性、四阶横梁方程同宿轨的存在性与集中性、奇异微分方程脉冲产生周期轨的存在性等方面，获得了一些有意义的研究成果。发表了与本项目有关的学术论文11篇，且均被SCI收录，其中有一篇论文同时入选“ESI高被引论文”和“ESI热点论文”，另外一篇入选“ESI高被引论文”，受到国内外同行的广泛关注，被多次引用。本项目的研究成果对于微分方程与动力系统的理论创新及应用研究乃至相关学科的发展(如偏微分方程孤波解的研究)均具有重要的理论价值和实际意义。