中心的保持性与等时性

An equilibrium is referred to as a center if all orbits in its a vicinity are periodic. A center is called to be persistent center of a family of systems parameterized by parameters if the structure of center is not destroyed as a parameter changes. A center is called to be isochronous center if there exists a neighbourhood of the center such that every nontrivial cycle contained in the neighbourhood has the same period. On the one hand, Cima et al. investigate persistent center for a family of parameterized vector fields which has a linear center for a given parameter in 2009. On the other hand, since Loud gave a complete classification of isochronous centers for quadratic systems in 1964, the classifications for isochronous centers were also completed for systems with homogeneous nonlinearities of degree n<6 and systems of practical significance. Meanwhile, the number of the critical point of the period function, i.e., bifurcation of critical periods, also attracts people’s attention. For persistent center problem, we will discuss persistent center for a family of parameterized vector fields which has a nonlinear center for a given parameter using the methods of normal form and Darboux integrable. For isochronous center problem, we will discuss the conditions of isochronous center for time-reversible quartic system and non-ploynomial Kolmogorov system using the methods of linearizability, Rückert basis theorem and decomposition of ideal.

一个解析系统的平衡点的某个领域内全部都是周期轨，那么这个平衡点被称为中心。一个系统的中心如果对某项作参数改变而仍然保持是中心，则称之为该参数系统的保持中心；如果在某个小邻域内围绕中心的周期轨具有相同的周期，那么该中心称为等时中心。一方面，2009年Cima等人研究了具有线性中心的参数向量场族的保持中心问题,即对于特定的参数有一个线性中心。另一方面，自1964年Loud研究二次系统的等时中心以来，前人已经得到了线性项加齐n<6次系统及某些具有特殊背景系统的等时中心条件。同时，扰动后周期临界点的个数，即临界周期分岔问题也引起广泛关注。本课题针对保持性问题，我们用正规形理论、Darboux可积等方法研究具有非线性中心的参数向量场族的保持中心；而针对等时性问题，我们用线性化、Rückert基定理和理想分解理论研究时间可逆四次系统、非多项式的Kolmogorov系统的等时中心条件和局部临界周期分岔。

一个解析系统的平衡点的某个领域内全部都是周期轨，那么这个平衡点被称为中心。一个系统的中心如果对某项作参数改变而仍然保持是中心，则称之为该参数系统的保持中心；如果在某个小邻域内围绕中心的周期轨具有相同的周期，那么该中心称为等时中心。一方面，2009年Cima等人研究了具有线性中心的参数向量场族的保持中心问题,即对于特定的参数有一个线性中心。另一方面，自1964年Loud研究二次系统的等时中心以来，前人已经得到了线性项加齐n<6次系统及某些具有特殊背景系统的等时中心条件。同时，扰动后周期临界点的个数，即临界周期分岔问题也引起广泛关注。本课题针对保持性问题，我们用正规形理论、Darboux可积等方法研究具有非线性中心的参数向量场族的保持中心；而针对等时性问题，我们用线性化、Rückert基定理和理想分解理论研究时间可逆四次系统、非多项式的Kolmogorov系统的等时中心条件和局部临界周期分岔。