等离子体物理中导心系统的保结构算法研究

In recent years, structure-preserving algorithms are widely applied to plasmas physics. Guiding-center motion equation is the most fundamental equation in plasmas physics. Firstly, in the application, we take the guiding-center system as the research object, develop its energy-preserving methods and stable variational symplectic methods to further expand the application of the structure-preserving algorithms in plasmas physics. Then, we theoretically investigate the splitting K-symplectic algorithms of the non-canonical Hamiltonian systems to enrich the theoretical results of the non-canonical Hamiltonian systems. Specifically, we investigate the following three aspects: 1) Construct high-order energy-preserving methods of the guiding-center system by using the line integral method, analyze and prove the energy-preserving property and the accuracy of the methods, and verify the results through the numerical tests; 2) By adding the constraint conditions or performing Gauge transformations to make sure that the Lagrangian function of the guiding-center system is non-degenerate, and further construct stable variational symplectic methods for the modified Lagrangian function; 3) For non-canonical separable Hamiltonian system, identify the general cases in which the explicit splitting K-symplectic algorithms can be constructed, and show the efficiency of the splitting K-symplectic algorithms.

近年来，保结构算法被广泛应用于等离子体物理。导心运动方程是等离子体物理中最基本的运动方程。首先，在应用上，我们以导心系统为研究对象，发展保能量方法和稳定的变分辛方法，拓展保结构算法在等离子体物理中的应用。然后，我们从理论上研究非正则哈密尔顿系统的分裂K辛算法，丰富非正则哈密尔顿系统的理论成果。具体包括以下三个方面: 1) 通过线积分方法构造导心系统的高阶保能量方法，分析并证明方法的保能量性质以及方法的收敛阶，并通过数值实验验证理论结果；2) 通过加入约束条件或者做Gauge变换使得导心系统的拉格朗日函数非退化，进而针对修正的拉格朗日函数构造稳定的变分辛方法；3) 对于可分的非正则哈密尔顿系统，研究可以构造显式分裂K辛算法的具体情形，并通过数值算例验证分裂K辛算法的高效性。

磁约束热核聚变是等离子体物理中一项重大应用，它利用磁约束等离子体进行持续的核聚变反应，是最有希望成功开发聚变能源的途径。单个带电粒子的导心系统是磁化等离子体物理中最基本的运动方程。托卡马克实验中的许多新经典现场，如自举电流，都可以用导心动力学作为支撑。我们利用平均向量场方法构造了导心系统的保能量算法、利用分裂方法构造导心系统的显式的保结构的K辛算法以及利用分裂方法为可分和不可分的非正则哈密尔顿系统构造分裂K辛算法，并得到如下的结果：. (1）基于平均向量场方法，我们为导心系统构造了一类保能量方法。我们研究了这些保能量方法的能量保持性质、对称性质和方法的阶。更进一步地，通过组合方法构造了高阶的保能量方法。数值结果表明这些保能量方法在能量保持方面比同阶的正则辛方法更有优势，并且这些保能量方法具有长时间保持系统能量的良好性质。另外还构造了两种自适应的保能量算法，可以克服平均向量场保能量算法的能量漂移问题。. (2) 利用分裂方法针对导心系统可分和不可分两种情况分别构造显式的K辛算法。对于可分的导心系统，我们直接对哈密尔顿函数进行分裂，然后通过对子系统精确求解并复合构造显式的K辛算法，对于不可分的导心系统，我们将哈密尔顿函数进行增广，从而得到可分的哈密尔顿系统，然后利用分裂和复合的方法构造显式的K辛算法。. (3) 针对可分的和不可分的非正则哈密尔顿系统构造分裂K辛算法。对于可分的非正则哈密尔顿系统，理论上分析分裂K辛算法可以构造的具体情形。对于不可分的非正则哈密尔顿系统，先对相空间进行复制并增广，使得哈密尔顿函数可分，然后从理论上分析可以构造分裂K辛算法的具体情形。数值实验证明分裂K辛算法具有高效性和保结构性质。. 本课题的研究丰富了导心系统的保结构算法相关的理论和数值结果。我们期望研究成果能够为等离子体物理中准确描述物理机制、提高磁约束装置约束时间提供一定的理论和实践意义。