微分代数方程中的误差可控计算理论与算法

A special type of differential equations combining with algebraic constraints, called differential-algebraic equations (DAE), has various applications in many areas such as industrial modelling, dynamical systems, control theory, engineering physics, etc. For nonlinear and large scale DAE, this project will focus on the description and high accuracy solving of solutions. By using symbolic-numeric computation tools, we will explore multi-structured analysis of DAE, efficient index reduction technique and error-controllable algorithms. The key step is to study the hybrid methods for real algebraic geometry, numerical version of prolongation and projection operations to differential equations. This enables us to do Jacobian test at consistent points, handle the degeneration of the fast prolongation method (Pryce method) and develop the perturbation techniques for singularities. Different from symbolic equation type of description, we propose point type of description for the solution space of DAE, which is a generalization of witness point concept in Numerical Algebraic Geometry imposed an extra condition well-conditionedess for better error control. In addition, we aim to design algorithms taking advantages of structures from background applications. By this project, it will initiate the study of error controllable computation for nonlinear DAE. Moreover, this work is very promising to be applied in areas such as multi-domain uniformed modelling,control theory and advanced manufacturing.

微分代数方程（DAE）是由代数方程与微分方程耦合在一起的一类特殊方程，在工业设计、动力系统、控制论以及工程物理中有着广泛的应用。本课题针对其非线性性、规模大、稀疏和源于设计的模块化结构等特点，围绕方程解的描述和高精度求解这一大数学难题，采用符号数值混合计算理论与工具，深入探索DAE的多层次结构分析理论、高效指标约化算法以及误差可控的计算理论。其中，重点研究实代数几何的符号数值混合计算方法，微分方程的数值延拓与投影方法，进而用于DAE约化检验、退化情形处理、奇异点扰动等技术的开发。不同于符号计算方法，我们提出用点来描述DAE解空间；在数值代数几何witness point概念基础之上附加上数值性态的选点标准将更好地控制误差；而且在算法设计中更关注DAE系统结构性质的挖掘和利用。这项研究将弥补目前在非线性DAE方程求解方面研究的不足。同时，研究结果有望广泛应用于工程物理建模、控制论以及先进制造

首先完成了实代数方程误差可控计算方法的研究，这也是本项目的关键部分。数特别是代数数的计算误差是其它数值计算误差问题的基础，我们在浮点数的精确整数关系方面提出了一个新的格基约化算法，针对“二十世纪十大算法”之一的PSLQ算法我们解决了数值稳定性问题，为发展“实用PSLQ”推进了一大步，该成果发表在Math Comp。多元多项式因式分解作为计算机代数中关键问题之一，其符号计算理论和算法都已经非常成熟，但数值理论基础尚不完善。我们对该问题的几何背景做了深入分析，将该病态问题转化成了well-posed问题，同时给出了所有分解流形的stratification结构以及数值因式分解的后向误差和条件数定理。该成果发表在SCI 一区刊物FOCM。数值方法求解实代数几何面临几个基本问题，我们解决了实根根距的估计、最小奇异值增加算法设计、高维多项式方程组的实critical point计算复杂度估计以及曲线跟踪的步长自适应选取等。该项工作发表在国际期刊TCS。此外，我们探索了含参代数方程组的求解。我们提出了一种数值求解双参数多项式系统实数解的方法，并从理论上分析了数值构造的边界和真实边界的距离，给出了误差的上界，这一上界也得到了实验的证实。实验表明该方法效率上大大优于传统符号方法。系列工作发表在CASC 2016，CASC 2018，AISC 2018会议上。其次，在非线性微分方程的误差控制方面我们探索了有理函数型微分方程的稳定性问题，将前向/后向误差的思想应用到微分代数方程的误差控制求解中，利用残差定义导出残差方程，该方程是分块对称正定线性方程，可以用共轭梯度法快速求解。部分工作发表于于国际会议SYNASC 2016，最新成果将提交到SCI 2区期刊Applied Math Comp。对于系统Jacobian奇异的情况，我们提出两种途径来解决该问题。一是不求解原问题，而是通过优化方法中的罚函数思想来逼近原问题。二是先通过不完全的符号计算将原问题嵌入到更高维的空间中并分拆成多个小问题，而每个小问题都满足正则条件，前面的办法就可以处理。这两项工作都在CASC 2017会议上进行了汇报。第一项成果的完整版已提交SCI 2区期刊Numerical Algorithm。