黎曼流形上的特征值及相关问题研究

黎曼流形上的特征值在几何与物理上都有非常重要的应用。近来，Laplacian算子的特征值研究已成为热点。本项目旨在研究黎曼流形上特征值的万有估计，即所得到的估计式不依赖于区域的大小和形状。本研究的难点在于其最优性，即是否存在某些区域，使得所得到的特征值万有不等式在此区域上成为等式。本项目拟研究黎曼流形上特征值的万有不等式以及最优性问题，主要研究内容如下：对于Clamped Plate特征值，考虑其在黎曼流形上的万有估计以及在哪些流形上达到最优；对于Buckling特征值，一方面考虑其万有估计以及最优性问题，另一方面，通过构造新的实验函数，考虑其前两个特征值的最优性问题。拟采用的基本思想是通过构造好的实验函数，利用Rayleigh-Ritz Principle 以及特殊流形的结构建立特征值之间的关系式。

本项目的支持下，考虑了欧氏空间中的紧致子流形上Dirac算子的特征值估计，推广了Anghel[1993, Proc. Amer. Math. Soc.]的结果。研究了双曲空间上双调和算子的特征值问题，利用Cheng-Yang[2009, J. diff. Equ.]引入的试验函数，得到了此问题的万有估计式。还考虑了球面区域上buckling特征值问题，通过引入一个新的参数和利用Cauchy不等式，优化了Wang-Xia[2007, Comm. Math. Phys.]的结果。对于球面中具有常平均曲率的超曲面，给出了稳定算子的特征值与Hodge拉普拉斯在1形式上特征值之间的关系式。另外，还得到了稳定算子的特征值与rough拉普拉斯的特征值之间的比较关系式。. 还研究了porous medium 方程正解的梯度估计，得到了Li-Yau类估计。特别的，所得到的结果推广了Lu- Ni-Vázquez-Villani [2009, J. Math. Pures Appl.]和Li-Xu[2011, Adv. Math.]等的结果。另外，还考虑了一类非线性抛物方程的正解的梯度估计，得到了Li-Yau类估计。而且，所得到的结果推广了Li-Xu[2011, Adv. Math.]的结果。. 我们引入了quasi Yamabe gradient solitons的新概念，利用Cao-Chen的思想，推广了Dakalopoulos-Sesum[2013, Adv. Math.]的部分结果。还研究了(m, ρ)-quasi-Einstein流形在紧致情况时的一些刚性结果。另外，给出了Bach张量平坦情况下的一些分类。