附不等式约束的加权整体最小二乘平差理论与方法研究

Partial errors-in-variables model can express the structure of design matrix and reduce the number of estimators and computation cost, so it has wide applications in geodesy. The inequality constraints utilize the prior information between the parameters, it is able to improve the reliability and accuracy of the estimates if we add the constraints into the PEIV model. Current researches on ICPEIV model focus on the optimal solution that originates from nonlinear programming under the weighted total least squares rule. It is complicated and far away from classical adjustment theory. Moreover, the influence of inequality constraints to adjustment result is not clear and the statistical properties are defective for ignoring the asymmetry of the probability distribution of parameters. The purpose of this project is to establish the theory of the parameter estimation, influence analysis and accuracy evaluation of the ICWTLS problem based on the ICPEIV model. We mainly focus on the problems as follows: first we propose the algorithm in a standard form similar to the classical adjustment model with the penalty function method and least square theory, the convergence and computation cost are also considered. Then we analyze the inequality constraints’ influence to the solution with the statistics theory. Finally we use the analytic methods and Monte Carlo simulation to evaluate the precision of the ICWTLS solution. Meanwhile we will apply the ICWTLS theory to GNSS deformation monitoring and improve the results of deformation analysis.

PEIV模型能表达观测系统中设计阵的结构特性，减少待估量和计算量，在大地测量中有广泛的适用性。而不等式约束能充分利用参数的先验信息，将不等式约束纳入PEIV模型能提高数据处理的可靠性和精度。目前对ICPEIV模型的研究主要是借鉴非线性规划理论获得WTLS准则下的最优解，形式复杂，与测量平差思维相去甚远。此外，不等式约束对平差结果的影响规律尚不明确，参数估计的统计性质未顾及参数概率空间的非对称性而存在缺陷。项目以ICPEIV模型为基础，拟建立起一套ICWTLS问题的参数估计、影响分析及精度评定的理论与方法。主要解决如下问题：首先结合罚函数和测量平差的思想提出与测量平差标准迭代格式相近的算法，分析算法的收敛性和效率；然后运用概率统计方法分析不等式约束对平差结果的影响规律；最后用解析法和Monte Carlo方法综合分析解的统计性质。并将其应用到GNSS变形监测数据处理领域，改善变形分析的结果。

项目以不等式约束部分误差含变量（ICPEIV）模型作为研究对象，在加权整体最小二乘准则下，建立了一整套平差模型的参数估计、影响分析和精度评定的理论体系，并将其运用到大地测量相关领域。主要的研究成果包括：1.将EIV模型表达成与Gauss-Markov模型相似的形式，利用经典最小二乘理论推导了EIV模型的参数估值和平差值函数的精度公式。2.将不等式约束转换成一个凝聚约束函数，不等式约束整体最小二乘的目标函数随之转化为非线性等式约束的最优化问题。采用BFGS算法得到不等式约束整体最小二乘解。将EIV模型和凝聚约束分别在最优解处线性化，得到附有线性约束条件的最小二乘平差模型，采用方差-协方差传播律推导了不等式约束整体最小二乘解的一阶近似方差矩阵。3.根据非线性最优化理论的Kuhn-Tucker条件，推导了ICPEIV模型获得最优解的一阶必要条件和二阶充分条件。提出了解ICPEIV模型的序列二次规划（SQP）算法，证明了算法具有良好的收敛性和稳定性。4.已有的ICPEIV模型的线性近似方法要求迭代初始值足够近似才能获得较好的计算效率。惩罚函数法中参数估值的精度随着罚参数的增大而提高，但计算量也随之增大。针对上述问题，项目提出了解ICPEIV模型的积极约束法。首先根据系数阵中随机元素的个数，推导了等式约束PEIV模型的两种迭代方案，然后给出了积极约束法的迭代步骤。5.为了简化ICPEIV模型的计算，提出了与经典平差形式一致的算法。该方法将模型参数和系数阵元素的估计进行分离，模型参数的解归结为解不等式约束最小二乘（ICLS）问题。设计了一种改进的Jacobi迭代法将ICLS问题转化为线性方程组的求解。6.分别运用模拟数据和实测数据进行计算，验证了上述理论和方法的可行性和有效性。与传统方法对比，具有更好的计算效率和适用性，在大地测量一些典型领域得到了成功的应用。综上所述，上述研究成果将ICPEIV问题纳入经典最小二乘理论的框架，提出了简便易行的算法，解决了参数估值的精度评价问题，进一步拓展了测量平差基础理论及应用范围。