k-无知模糊和Duffie-Epstein模糊模型下的最优投资策略和比较静态分析

Knightian uncertainty is one of the hot areas in the economic and financial mathematics theories. k-ignorance ambiguity model and Duffie-Epstein ambiguity model, proposed by Chen-Epstein and Duffie-Epstein respectively, are two special Knightian uncertainties (ambiguity characterized by generator g) which were introduced via backward stochastic differential equations, and these two models can provide fairly reasonable interpretations for some fascinating puzzles in economic and financial phenomenon. Under the framework of k-ignorance ambiguity and Duffie-Epstein ambiguity in a continuous time model, this project aims at studying the optimal risky demand for the agent with general utility function; establishing the connection with the classical situation (without ambiguity); considering the comparative statics of the optimal risky demand for the agent characteristics (wealth level, risk aversion and ambiguity aversion) and the market parameters (including the risk-free interest rate, the expected return and the volatility). Finally, we will apply our comparative statics results for interpreting the equity premium puzzle and home-bias puzzle.

Knight 不确定性是经济数学和金融数学研究领域的前沿与热点问题之一。k-无知模糊模型和 Duffie-Epstein 模糊模型是我国著名金融数学家陈增敬教授和 Epstein, 以及 Duffie-Epstein 基于倒向随机微分方程提出的一种特殊的 Knight不确定性 (生成元 g 刻画模糊)，它们可以帮助解释和分析许多经济金融现象。本项目旨在以g-期望和倒向随机微分方程理论为基础，在连续时间，k-无知模糊模型和 Duffie-Epstein 模糊模型下，研究具有一般效用函数的投资者的最优投资策略的性质；建立与经典情形下 (不含模糊) 最优投资策略之间的联系；研究投资者个人特征 (财富水平、风险厌恶和模糊厌恶) 和市场特征 (无风险利率、超额收益率和波动率) 的每个因素对最优投资策略的比较静态分析；并运用该比较静态分析结果从投资选择的角度解释股票溢价之谜和本土偏好之谜。

非线性的倒向随机微分方程(BSDE)由我国著名数学家彭实戈院士提出，由于其理论自身的魅力以及与金融数学、随机控制等领域的紧密联系，目前仍然是国际前沿研究课题的热点之一。.本项目以倒向随机微分方程理论和g-期望为基础，主要获得了三方面的研究进展。第一、在连续时间模型下，k-无知模糊模型下，研究了具有一般效用函数的投资者的最优投资策略的性质并对国内投资偏好之谜做出了一些合理的解释。在Duffie-Epstein模糊模型下，由于其对应的最优投资策略会涉及到BSDE的Z解部分，并且在这时最优策略的整个系统可以看成一个完全耦合的正倒向随机微分方程。这部分问题促使我们进一步地深入研究了几类倒向随机微分方程的性质。第二、我们在较弱的条件下获得了几类倒向随机微分方程的存在唯一性定理、比较定理、稳定性定理，推广和发展了前人的研究结果。第三、研究了生成元表示定理及在偏微分方程粘性解中的应用。BSDE生成元的表示定理可以用来研究BSDE解的性质，在生成元g关于y满足单调性条件和一般增长条件时，使用停时局部化和一种逼近技术证明得到了BSDE的生成元表示定理，并且得到了表示定理与PDE粘性解概率解释之间的关系，即PDE粘性解的概率解释可以转化为对应BSDE生成元的表示问题。这是表示定理的又一新的重要应用。建立了一般时间区间上Lp(1<p<2)半鞅序列的单调极限定理，发展了彭实戈院士的单调极限定理，进而借助该结果，得到了一般框架下g-上鞅的分解问题。.项目组成员发表学术论文9篇（含录用1篇，在线1篇），其中SCI/SSCI检索8篇（含录用1篇，在线1篇），部分研究成果发表在《数学年刊》、 《ESAIM：Probability and Statistics》等国内外知名学术期刊，完成了预期研究任务。