动力系统理论方法在非线性方程行波解研究中的应用

本项目拟利用动力系统分支理论和奇异摄动理论研究非线性方程的光滑与非光滑奇异行波解的存在性、持续性、分支及其稳定性。从典型的非线性色散耗散方程出发，研究在不同参数条件下，与奇异线相交的有界轨线和以奇异线为渐近线的无界轨线所对应的行波解的光滑性、有界性及其类型，分析非光滑奇异波与伴随行波系统轨道的对应关系，以及非光滑奇异波的产生与波方程的参数分支的关系，并对参数空间进行划分来区分不同波产生的参数范围，分析非光滑奇异波产生的原因，为合理解释物理与工程中的奇异现象提供理论依据和科学支持；利用中心流形定理、正规形定理以及不变集理论研究扰动或具时滞的非线性波系统行波解的持续性、存在性、分支及其稳定性；结合计算机代数及符号语言算法与相平面分析的方法，研究非线性波方程行波解的存在性和精确解，分析方程中各种复杂现象产生的分支值，并结合数值模拟验证理论分析结果。

本项目主要研究了非线性波方程的光滑行波解与非光滑奇异行波解的存在性，分支以及精确解等问题。研究工作依照计划有序进行，取得了预期的研究成果。从一类广义的非线性的Klein– Gordon模型方程出发，研究第二类奇异行波系统非线性波动方程的行波解，探讨非竖直的奇异线对非线性方程行波解的影响，分析了具水平奇直线系统的非光滑奇异行波解与伴随行波系统轨道的对应关系，得到不同于具竖直奇直线的第一类系统的奇异行波解。这些新的奇异行波解是首次在本研究工作中提出的，从而丰富了非线性方程行波解的研究成果，并通过数值计算验证和模拟了理论分析结果。结合子方程方法与动力系统分析方法，借助计算机代数与符号计算和动力系统分析的优势得到了研究高阶非线性波方程的行波解和２孤子解的方法，并将其应用于一类高阶非线性波方程的行波解的研究中。结合动力系统方法与Hirota 双线性方法研究非线性Jimbo-Miwa 方程的行波解以及该方程的多孤子解，得到了该方程的一组精确孤波解，并证明了该方程的两组有界周期波解的存在性，获得该方程多孤子解的精确表达式，尤其是获得该方程的两组任意有限孤子解的表达式，严格说明了该方程的无穷可积性。高维具有双线性结构的非线性方程的多孤子解空间结构研究及其精确解的构造以及分类问题也进行了初步探索。对于非线性非局部的神经网络系统具时间和空间时滞的积微分模型方程波前解的存在性方面进行研究。证明了该方程在具有任意有限次震荡的核函数的条件下其波前解的存在唯一性，将原有结果从三类基本的激励条件推广到任意有限次震荡的情形，另外对于第三类核函数波速的存在唯一性问题给出了新的简单证明方法。研究了具有有限时滞的Bazykin模型，得到了该方程随着时滞的增加，正平衡点的一列稳定性开关。在正平衡点处得到了随着时滞增加的一列Hopf分支。并且利用中心流形及正规形理论得到了决定Hopf分支的分支方向及分支产生的周期解稳定性的精确表达式。