非线性方程解的分歧的一些关键技术的研究和应用

研究几类具有实际应用背景的非线性方程解的全局分歧结构和行为分析。将算子谱理论、不动点理论和凸分析相结合研究奇异非线性方程正解存在性，给出积分算子最优取值区间，从而解决Webb提出的问题。考虑一些奇异非线性特征值问题正（变号）解的存在性和全局分歧结构、性质及几何图形；给出奇异（广义）p-Laplacian方程可解条件、全局分歧结构，以及具有Neumann（周期）边界条件或非线性项有跳跃性质的情况。这需要给出几种处理奇性的新方法和构造方程上下解的新技术，以及新建立类似的Rabinowitz全局分歧理论和方程谱结构，将一些新建立的方法相结合解决非线性问题。利用算子半群、拓扑度理论和Kato扰动算子理论等技巧相结合建立非线性算子半群拓扑度，以及发展用其建立的拓扑度理论和Banach空间结构不等式、变分不等式相结合的新方法应用研究非线性方程解的存在性。研究成果可解释非线性现象，为其提供计算方法。

本项目研究了几类非线性微分方程正解的存在性, 分数阶线性时间变量中立型动力系统解的可控性和随机Volterra-Levin方程解的渐近性态, 具体如下:. 1. 研究一类奇异边值问题u''(t)+ \mu w(t)f(u(t))=0, 0< t< 1, u(0)=0, u(1)=$\int_0^1$ u(s)dA(s), 其中$\mu$>0是一个参数, $\int_0^1$ u(s)dA(s)是Stieltjes积分, 函数w在t=0和/或t=1处有奇性. 利用全局连续性定理, 上下解方法和不动点指数定理证明得到方程正解的存在性, 多重性和不存在性. 同时, 也讨论了参数$\mu$的取值区间.. 2. 考虑了时标上奇异三阶微分方程特征值问题. 首先使用Krein-Rutman定理得到正线性算子的第一特征值, 再联合不动点指数定理证明了特征值问题正解的存在性, 同时也给出了参数$\lambda$的取值区间.. 3. 考虑非齐次$\phi-$Laplacian微分方程($\phi$(u'(t)))'=-h(t)f(u(t)), $t\in (0,T)$, 其中$\phi$是增同胚且有$\phi(0)=0$, 其边界条件中部分系数可以取负值. 利用Krasnosel'skii不动点定理, 可以证明方程存在正解, 即使部分系数$\alpha_i$取负值.. 4. 考虑了分数阶线性时间变量中立型动力系统. 首先推导了系统状态方程的解. 再通过构造适当的可控函数建立控制系统的两个标准. 同时通过实例解释了所得的结果.. 5. 通过使用不动点定理考虑了随机Voltera-Levin方程解的p次时刻指数稳定性和渐近确定指数稳定性(p大于等于2).. 通过一年的研究, 我们已经完成当初的研究任务, 达到预定的研究目标.