Lotka-Volterra模型和传染病动力学模型的全局稳定性和分支问题

In this project, we mainly consider the global stability problems for Lotka-Volterra model and SEIR epidemic models by using theory and methods including Lozinskii measure approch, Lyapunov stability thoery, time average property,center manifold reduced approach of partial differential equation and computer aided proof, etc. The project is expected to modify the Li-Muldowney approach for global stability problems, give an affirmative answers to Zeeman's conjecture and Driessche-Zeeman conjeture and partly answers to Hofbauer-Sigmund conjecture in three species, give a precise estimation of the rate of loss of immunity effect on global stability of SEIRS model and give an partial answer to Liu-Hethcote-Levin conjecture,show the rate for disease-ralated death is harmless for the global stability of the SEIR and SEIRS model with varying total population size, give stability and attractive basions of bifurcation solutions of SEIR diffusive model. Research results of the project will reveal the evolution of populations and disease over time and have important theoretical value and practical significance to the study of theoretical ecology.

本项目通过采用Lozinskii测度方法、Lyapunov稳定性理论、时间平均性质、偏微分方程的中心流形约化方法以及计算机辅助论证等理论和方法,考虑Lotka-Volterra模型和SEIR传染病模型中的全局稳定性和分支问题.项目预期将改进全局稳定性的判别Li-Muldowney几何准则;给出Lotka-Volterra模型中的Zeeman猜想、Driessche-Zeeman猜想完整解答和Hofbauer-Sigmund猜想在三种群情形的部分解答;给出丧失免疫率对SEIRS模型全局稳定性影响的精确估计,部分地回答Liu-Hethcote-Levin猜想;揭示因病死亡率对具有指数输入的SEIR、SEIRS模型全局稳定性的影响是无害的;给出SEIR扩散模型分歧解的稳定性和吸引域.项目研究成果将揭示种群和疾病随时间的演化规律,对理论生态学的研究具有重要的理论价值和实际意义.

本项目主要针对种群与传染病模型的全局稳定性和分支问题做了深入的研究。借助于时间平均性质，结合Li-Muldowney全局稳定性判定的几何方法，考虑了三维竞争Gompterz模型的全局稳定性问题，并局部的肯定地回答了蒋继发等人提出关于极限环存在性的公开问题；利用半连续泛函理论以及时间平均性质，推广了Li-Muldowney的几何方法，给出了非线性动力系统全局稳定性判定的新方法，利用该方法，肯定地回到了SEIRS传染病模型中的Liu-Hethcote-Levin猜想，肯定地回答了Lotka-Volterra模型中的Zeeman猜想和 Driessche-Zeeman猜想、三维竞争情形下的Hofbauer-Sigmund猜想; 在混合范数的意义下，给出了四维非线性动力系统全局稳定性判定的新方法，基于此方法，考虑了具有总人口变动以及病死率影响的SEIR、SEIRS传染病模型中的全局稳定性问题，得到了地方病平衡点的存在性、唯一性以及全局稳定性，并揭示了病死率对该传染病模型的全局稳定性是无害的；通过引入计算机辅助分析的工具，结合跃迁定理，给出了由反应扩散方程控制下的基因繁殖模型、Lotka-Volterra模型等非常数平衡解的存在性和稳定性；此外，作为本项目研究内容的补充，利用区域映射的方法，得到了三维Lotka-Volterra合作差分模型的非永久生存性；通过引入Lyapunov-Krasovskii泛函理论，给出了具有Markov跳变的神经网络模型的稳定性和无源性的充分条件。