改进多尺度有限单元法求解复杂三维地下水流和溶质运移问题

Multiscale finite element method (MSFEM) is more efficient than finite element method (FEM) in groundwater simulation. However, MSFEM still has some difficulties in simulating 3D problems:base function construction cost much, can’t obtain continuous Darcy velocity, solute transport model build process complex. This project aims to provide resolution for MSFEM to efficiently solve complex 3D groundwater flow and solute transport problem. First, we will develop a new 3D linear FEM base function and combine upscaling methods to reduce the cost in solving the local differential operator so as to improve the base function construction efficiency. Second, by combining traditional velocity methods, a continuous Darcy velocity method will be developed, and the interface problem will be considered. The third, we will combine finite volume method and MSFEM to solve flow equation in higher accuracy and remove dispersion errors of convection-diffusion equation. Moreover, continuous Darcy velocity will be presented by heads in control volume boundary flux computation to ensure the continuity and local conservation of head and Darcy velocity at the same time. Similarly, the continuous and local conservation concentration and its gradient can also be obtained together. At last, numerical and physical experiments will be employed to exam the effectiveness of the above researches.

多尺度有限单元法是一种新兴地下水数值模拟方法，在处理非均质问题时比有限单元法等传统方法更高效，具有广阔应用前景。然而，多尺度有限单元法在模拟复杂三维地下水问题仍存在局限：基函数构造效率较低，不能保证达西速度的连续性，溶质运移模型建立过程繁琐。本课题将构造新型三维有限元基函数，应用尺度提升技术降低构造方程组阶数，提高基函数构造效率；针对三维复杂介质，结合经典算法保证达西速度连续性，兼顾交界面处理方法研究；结合有限体积法消除数值弥散和振荡，运用水头线性表示连续达西速度并应用于水流方程控制体流量计算，实现水头和达西速度同方程求解，推广此算法到对流弥散方程控制体浓度通量计算过程，实现浓度和浓度梯度的同方程求解，简化溶质运移模型建立过程；应用数值、物理实验检验结果。本课题将解决复杂三维地下水流和溶质运移模型的高效求解问题，有望丰富多尺度有限单元法的理论和方法体系，为三维地下水数值模拟提供重要参考。

地下水流和溶质运移数值模拟是合理开发地下水资源、定量分析地下水资源与环境变化趋势和防治地下水污染的重要手段。多尺度有限单元法（MSFEM）进行地下水数值模拟比有限元法更具优势，但仍存在一些数值模拟问题。本项目采用数学理论研究和数值模拟相结合的方法，辅以室内物理实验，提出多种高效精确的地下水MSFEM算法，已按计划完成项目研究工作。主要研究进展与成果包括：1）新型三重网格多尺度有限元法；提出了三维多尺度基函数的新算法，设计了新型的粗、中、细三级网格剖分，构造了简化的垂向插值函数和新型超样本技术。2）多种三维连续达西速度的高效算法；a. 新型三重网格多尺度有限元法，即应用三重网格基函数替换Yeh的伽辽金模型的有限元基函数；b.双重网格多尺度有限元法，通过极小位移构造第二重网格，用差分得到连续达西速度；c. 区域分解有限元法，通过区域分解分离不同介质，从而令多种形态交界面处的达西速度满足折射定律。3）应用新MSFEM算法简化了溶质运移模型的建立过程；a.新型有限体积多尺度有限元算法，基于Yeh的伽辽金模型构造了速度矩阵，实现了水头和达西速度的自由转换，从而求解一次方程组即可获得水头和达西速度；b. 地下水溶质运移问题的理论、实验与文献研究，研究了变密度溶质运移中非均质介质对自由对流过程的影响；进行了溶质运移室内实验与模拟, 综述了孔隙介质中溶质横向弥散及稀释的实验研究进展研究进展；c. 模拟地下水溶质运移问题的新型有限体积多尺度有限元算法，构造了弥散速度矩阵，实现浓度和弥散速度的转换，应用CN格式和有限体积格式处理数值弥散与振荡。上述研究成果已发表7篇标注论文，其中SCI论文6篇（含top期刊论文3篇），EI论文1篇；获授权发明专利4项，在审专利11项。项目负责人谢一凡获得了副教授职称，并获河海大学“大禹学者”称号。