高阶非线性微分方程定性分析

Complicated behavior of models for technical applications is often described by nonlinear high-order differential equations, for example, the Lorenz model of a simplified hydrodynamic flow, the dynamo model of erratic inversion of the earth’s magnetic field, etc. This project is a qualitative analysis of the high-order nonlinear differential equations, including: higher order differential equations solutions (positive solutions) of boundary value problems or existence, stability and uniqueness of the periodic solution (positive periodic solution). High-order differential equations with second-order differential equations are essentially different, for example, there will be chaos phenomenon. Result of high-order nonlinear differential equations relatively small, the research work of the project will be given a complete theoretical system of high-order nonlinear differential equations, and these results are applied to various disciplines actual has important theoretical significance and application value.

高阶非线性微分方程用于描述一些应用模型的复杂行为，例如：简单的超动力流的Lorenz模型，地球磁力场的Dynamo模型等。本项目是对高阶非线性微分方程的定性分析，具体包括：高阶微分方程的边值问题解（正解）或周期解（正周期解）的存在性、稳定性、唯一性等。高阶微分方程与二阶微分方程有着本质的不同，比如会出现混沌现象。目前关于高阶非线性微分方程的结果还相对较少，本项目的研究工作将给出一个较为完整的高阶非线性微分方程理论体系，并将这些结果应用到实际各个学科中去，具有重要的理论意义和应用价值。

本项目是对高阶非线性微分方程解的存在性研究，具体包括：应用重合度理论和一些不等式，研究一类拟线性高阶微分方程周期解的存在性；通过降阶（主要是把三阶变系数微分方程降为一个一阶和二阶的方程组）, 给出三阶线性微分方程的格林函数, 并利用不动点定理和格林函数，研究高阶非线性奇性微分方程正解的存在性；对高阶中立型微分方程的研究，首先我们研究了具有变时滞和变参数的中立型算子的性质，其次利用该中立型算子性子和定性理论（不动点定理和重合度理论），研究高阶广义中立型微分方程的周期解（正解）的存在性；利用Sobolev、Wirtinger最佳不等式和分析工具，我们研究奇数阶微分方程解的非退化与唯一性。本项目的研究工作给出一个较为完整的高阶非线性微分方程解的存在性理论体系，并将这些结果应用到动力系统和实际各个学科中去，具有较为重要的理论意义和应用价值。