高阶非线性偏微分方程的高效数值方法及应用

In scientific computing field, how to design an efficient numerical scheme and improve the accuracy is the hot issue and attracts much attention. For nonlinear partial differential equations with high order derivatives, it is difficulty to solve the exact solution and thus the numerical solution plays an increasingly important role, while existing numerical methods and analysis are limited when studying the long time behavior of the exact solution. The goal of this projection is to design an efficient time-space full-discrete numerical scheme for high order nonlinear partial differential equations. We adopt the LDG method for the space discretization and spectral-Galerkin or spectral collocation method for the time discretization. The new numerical method have some desired properties and advantages: i) shares the same advantages with the standard DG method such as high order efficiency and the capability of parallel computing; ii) the ability to simulate long time behavior. Further more, a theoretical investigation will be made in this projection for the stability, convergence, high order accuracy and superconvergence properties of the full-discrete numerical scheme, which provides the theoretical and algorithm supports for other fields such as post-processing technique, adaptive algorithms.

在科学计算领域，如何高效数值计算以及提高数值方法的逼近精度一直是人们特别关心的问题。针对高阶非线性偏微分方程求解困难，时间离散格式精度不高，无法快速有效地进行长时间的数值模拟等问题，本项目拟提出一种基于高阶非线性方程的高效高精度数值方法。具体来说，在空间离散方面，本项目将采用局部间断有限元方法或者结合PPR后处理技术和谱方法进行离散，在时间离散方面则采用新的谱Galerkin或者谱配点格式。该数值格式的好处在于：一方面它保留了间断有限元方法在偏微分方程数值求解中的优势，另一方面它还具有时间方向上的谱精度，从而为模拟应用问题的长时间行为，研究方程解的长时间形态提供可能。此外，本项目还将研究全离散数值格式的稳定性，收敛性、高精度逼近和超收敛性质，进而利用数值解的高精度逼近性质，构造合适的后处理算法，为后处理恢复技术等各科学计算领域提供重要理论基础和算法依据。

针对高阶非线性偏微分方程求解困难，时间离散格式精度不高，无法快速有效地进行长时间的数值模拟等问题，本项目首先研究了一类非线性的KdV方程以及非线性哈密尔顿方程的高效数值模拟，构造了这两类方程的高阶数值格式，在时间离散方面，采用了高精度的谱方法或谱配点方法，而在空间离散方面则采用了局部间断有限元方法。其次，我们对这类方法进行了理论分析，研究了算法的动量，能量以及哈密尔顿能量的三类守恒性质，建立了半离散和全离散格式下数值解关于时间和空间方向上的指数收敛性质。算法在时间和空间上的高精度性质大大降低了计算时间和成本，为大规模数值模拟以及方程解的长时间行为的研究提供了可能，也为后处理恢复技术，自适应算法等各科学计算领域提供重要理论基础和算法依据。最后，本项目还研究了五阶方程，非线性波动方程，Kuramoto-Tsuzuki方程，四阶传输特征值问题，界面问题等高阶线性/非线性问题的高效数值模拟，针对不同的具体方程，分别设计合适的Galerkin方法，实现了这类问题的高效数值计算和理论分析。