多场耦合作用下非均匀材料胞元分析的几个基础理论问题研究

研究多场耦合非均匀材料胞元分析中提出的几个关键力学基础理论问题。分析力学问题与电磁热等物理问题在支配方程方面存在的对应关系，在本构方程方面的耦合情况。不是单纯从数学角度研究耦合问题的解法，而是结合象等效夹杂法等力学和物理学概念，探索解决问题的新途径和新方法。研究变分原理等固体力学理论和方法对多场耦合的非均匀材料胞元的扩展和应用，如将场量的耦合关系、胞元的周期条件等吸收到变分泛函中去，阐明多场耦合的新现象和新问题，如有效性质非常规放大效应和乘积效应（出现新有效性质），并发展更精确的理论预报方法。在相关分析计算方法的研究中取得进展，编制能嵌入现有有限元软件中的程序。从多场耦合的复杂宏细观关联中探寻简明的关联规律，探寻象材料强度理论"相当应力"那样的多因素组合的"相当参数"，使关联规律得到简明地描述。这一方面是为先进材料设计提供理论依据和设计计算方法，另一方面也是为了推进多场耦合下固体力学理论。

在多场耦合非均匀材料胞元分析方法的几个关键力学基础理论问题的研究中取得重要进展，物理原理与数学方法结合，发展了基于胞元分析的新方法。利用拉格朗日乘子法，将胞元的力电磁热周期或准周期条件吸收到变分泛函中，建立了以广义位移、广义应变和广义应力表征的变分泛函。根据控制方程，推导了不同胞元的力电磁热各物理量的特征函数展开式，发展了多场耦合问题的特征函数展开-变分法。对三相压电纤维复合材料、含界面相的力-电-磁耦合的纤维复合材料，推导了物理意义明确、数学表达简单的级数解。利用所推导的解答，获得了具有满意工程精度又简明的工程封闭公式。尤为有意义的是，工程封闭公式阐明了若干复杂的的宏细观关联现象中的简明规律。例如复合材料的有效压电和压磁系数与组分材料的对应系数初看很难发现规律，甚至提高组分材料的系数反而降低整体的有效系数。本项研究发现了相当于强度理论中的“相当应力”的组分材料性质的一个组合参数矩阵和反映纤维分布的一个参数，得出了它们与整体有效性质的简明关系，并验证了其有效性和精度。利用所发展的方法，还揭示了三相和两相复合材料的有效性质的等效关系，揭示了有效磁电性能的异常放大效应等有趣现象。本项目还发展了有限个周期结构的U变换-有限元方法，获得了胞元含不等长刚性线问题的精确封闭形式解，建立了纤维复合材料的随机微结构胞元模型，实验研究了陶瓷的大小分级的周期热震裂纹图案，并建立了热震裂纹的周期胞元模型。本项目的成果能够为先进材料设计提供理论依据和设计计算方法，也有助于推进多场耦合下固体力学理论的研究。