快速多极边界元方法的归一化算法研究

Fast multipole method is known as one of the top ten algorithms of the twentieth century. In dealing with some of the large-scale problems, the fast multipole method combined with boundary element method can accelerate the problem solving, but for solving different problems, must compile different fast multipole algorithm program. This project studies the normalized algorithm of fast multipole boundary element method, so-called "normalized" refers to use a unified calculation procedure to solve many large-scale scientific and engineering problems of boundary element method quickly. For solving different problems with boundary integral equation, to seek a certain category or categories of function systems, the kernel function of the integral operator in the integral equation are expanded in these function systems, then the fast multipole expansions and convert processing can be acted on these function systems, analysis the errors of expansions, and design procedures of the algorithm. The achievement of "normalized" FM-BEM algorithm will open up a new field for the applications of boundary element method in science and engineering.

快速多极算法被称为二十世纪十大算法之一。在处理某些大尺度问题时，快速多极算法与边界元方法的结合可以加速问题的求解，现有的快速多极边界元方法在对不同的科学与工程问题进行求解时，需要编制不同的快速多极算法程序。本项目研究快速多极边界元方法的归一化算法，所谓"归一化"，就是指用一个统一的快速多极算法计算程序来实现很多科学与工程中边界元问题的快速求解。针对不同问题的边界积分方程，寻求某一类或几类函数系，将积分方程中积分算子的核函数在这些函数系中进行展开，然后再对这些函数系进行快速多极算法的相关展开和转换处理，分析展开式的误差并设计出算法的程序。快速多极边界元"归一化"算法的实现将为边界元方法在科学与工程相关领域中的应用开拓一片新的天地。

本项目首先对Helmholtz方程的周期Green函数的截断误差收敛阶进行了理论证明。根据Hankel函数在变量趋于无穷大时的渐近展开式，并结合Abel不等式，证明了Helmholtz方程周期Green函数及其一阶偏导和二阶混合偏导的一致收敛性及其截断误差的收敛阶，并通过数值实验验证了理论证明的正确性，我们所使用的证明方法也可被用于证明其它一些方程周期Green函数的收敛性问题。. 其次，根据Bessel函数及Neumann函数在阶数趋于无穷大时的渐近展开式，给出了这两类函数的一个上界，然后再应用这一上界估计了Bessel函数，Neumann函数和Hankel函数所对应的Graf加法公式的截断误差，我们所给出的误差上界是一个不包含任何任意常数的显式函数，进而由此得出了以上几类函数所对应的Graf加法公式的截断误差收敛阶。数值算例结果表明我们所给出的误差界不仅比已有的结果精确，并且随着截断数p的增大，误差界渐近于实际误差，从而表明了收敛阶的准确性。. 再次，为了更好的研究FMM算法的整体误差，我们采用另一种方法来估计Graf加法公式的截断误差。根据Bessel函数及Neumann函数在变量趋于0时的极限形式对其上界进行估计，然后再进一步估计出了以上几类函数所对应的Graf加法公式的截断误差，通过该方法得到的新的截断误差界不仅比先前的结果更精确，并且形式上更简单。我们从理论分析和数值实验两方面都验证了新截断误差界的精确性，因此该结果可以用来进一步估计FMM算法的整体误差。. 最后，本项目以Helmholtz方程边值问题的FMM算法为基础，首先从理论上给出了算法整体误差的表述形式，算法的整体误差分为四个部分，第一部分是多极展开的误差（记为E1），第二部分是M2L的误差（记为E2），第三部分是L2L的误差（记为E3），最后一部分是局部展开的误差（记为E4）。其次，结合已给出的Graf加法公式的截断误差，对整体误差的每一部分进行了估计，给出了和FMM算法所使用的树结构形式密切相关的E1和E2的误差上界及其对应的收敛阶。. 该项目不仅在Graf加法公式截断误差的估计上得到了非常好的结果，填补了这一领域的空白，此外，理论上对于FMM算法整体误差进行了估计，使得算法在理论研究方面得到了补充和完善。