分段光滑动力系统的定性分析和分岔理论研究

Piecewise smooth dynamical systems widely exist in Mechanics，Ecology，nonlinear circuit and so on. But as a result of nonsmooth vector fields or iterative equations, many classical methods used in analysing smooth dynamical systems don't work, so it has importantly theoretical and practical significance to study qualitative properties and bifurcation theory of piecewise smooth dynamical systems. Based on theory of nonsmooth dynamics, this project plans to study the following about piecewise smooth dynamical systems. Firstly, we study qualitative properties of piecewise smooth dynamical systems, including the type of singular points, the existence and stability of periodic solutions and so on. Some relevant criteria are established, and some existence theorems concerning sliding closed orbits, sliding homoclinic loops and sliding heteroclinic loops are presented. Secondly, we study the conventional and nonsmooth bifurcations (for example, border collision bifurcations) from piecewise smooth dynamical systems with more zones. The sufficient conditions which guarantee the occurrence of these bifurcations are derived. Moreover, by analysing the relationship between the conventional bifurcation and nonsmooth bifurcation, we reveal the bifurcation mechanism of piecewise smooth dynamical systems. Finally, we study the applications of piecewise smooth dynamical systems in Mechanics, Ecology, nonlinear circuit and so on, which means that we will construct models for some typical nonsmooth problems, analyse their dynamical behaviors, study their dynamical properties, and reveal the complex dynamics mechanism to provide some methods and strategies for the solution of realistic problems.

分段光滑动力系统广泛存在于力学、生态学及非线性电路等领域。然而由于向量场或迭代方程的非光滑性，使得分析光滑动力系统的传统方法不再适用，因此开展分段光滑动力系统的定性分析和分岔理论研究具有重要的理论意义和应用价值。本项目利用非光滑动力学的理论和思想拟对分段光滑动力系统如下几方面展开研究：第一，研究分段光滑动力系统的定性性质，包括奇点类型，周期解的存在性和稳定性等，建立有关的判定准则；证明滑动闭轨、滑动同宿轨、滑动异宿轨的存在性定理。第二，研究多边界分段光滑动力系统的常规分岔和非光滑分岔（如边界碰撞分岔），给出分岔发生的条件；分析常规分岔与非光滑分岔之间的相互作用及内在联系，揭示分段光滑动力系统的分岔机理。第三，研究分段光滑动力系统在力学、生态学及非线性电路等领域的应用：对相关领域中典型的非光滑现象建模，分析其动力学行为，研究其动力学性质，揭示其复杂的动力学机理，为解决实际问题提供方法和策略。

非光滑现象广泛存在于自然科学和工程领域，因此研究模拟这类现象的非光滑动力系统具有很强的现实意义。分段光滑动力系统则为最重要的非光滑系统之一，主要特点是其相空间被分成若干个子域，向量场在每个子域内是光滑的，而在两个子域的交界即分界面上是非光滑的。由此可见，分段光滑动力系统与光滑动力系统既有区别，更有联系。本项目首先开展了光滑动力系统的定性性质和分岔理论的研究：研究了双中心退化系统的极限环分岔，特别是给出了研究同时分岔的方法，证明了双中心周期环域的环性猜想；利用高阶平均方法研究了高次系统的极限环分岔，提供了计算高阶平均函数的技巧，及分析并估计其零点个数的方法；首次给出了任意的等时中心在任意小扰动下任意高阶周期分岔函数的解析表达式，改善和拓广了已有的结果，提供了深入研究临界周期分岔现象的重要工具。其次将研究光滑动力系统的方法加以拓广和改进，对分段光滑动力系统进行了定性分析（包括相图结构、周期轨道的存在性），对其常规分岔和非常规分岔进行了研究(包括边界奇点分岔、周期环域的极限环分岔及边界碰撞分岔等)。研究成果显示：分段线性系统具有丰富的动力学行为。在边界平衡点的分岔问题研究中，发现了分段光滑性导致的超临界和非正规叉形分岔以及光滑性导致的超临界Hopf分岔共存的现象，揭示了分段光滑动力系统的新的动力学特点。分析了多种边界碰撞分岔现象，建立了它们发生的条件。最后探讨了分段光滑动力系统在非线性电路中的应用，如对著名的Chua电路模型，运用非光滑系统的理论和方法分析了平衡点的存在性和稳定性，得到了一些不连续分岔与经典分岔共存的结果，揭示了分段光滑动力系统的Chua电路中复杂的非线性动力学现象，对实践具有一定的指导意义。此外还研究了动力系统在生化系统及神经网络方面的应用。