Adams不等式极值函数的存在性及相关高阶方程量化性质的研究

Due to the wide range of applications in mathematical physics, geometric analysis and string theory, Moser-Trudinger-Adams inequalities have become one of the focus in the field of functional analysis. In this project, we will employ the method of nonlinear functional analysis to study the existence of extremals for the Adams inequalities on the whole space and the quantization property for the related elliptic equqtions. . Since the existence of extremals for the Adams inequalities on the whole space can't be obtained by the existing technique of the symmetry and rearrangement, we need find a new method to investigate the existence of the extremals for the Adams inequality on the whole space. Furthermore, we also will employ the methods combining blow-up analysis and critical point theory to establish the quantization property for high-order elliptic equations related with the extremals of the Adams inequalities on the unit ball and whole space. . The study of this project will contribute to reveal the general rules for the existence of extremals for the Moser-Trudinger-Adams inequalities on the whole space and provide the essential theoretical basis for the study of problems of the critical point related with the Adams functional. Furthermore, the study of this project will also provide new ideas for the further research of the extremals related with the Moser-Trudinger-Adams inequalities on non-compact manifolds.

Moser-Trudinger-Adams不等式在几何分析，数学物理以及弦理论等研究中都有着广泛的应用，是泛函分析领域研究的热点问题之一。本项目将使用非线性泛函分析的工具研究全空间上Adams不等式极值函数的存在性以及与此相关的椭圆方程量化性质的问题。. 由于现有的对称重排技术不适用于研究全空间上Adams不等式极值函数的存在性问题，本项目拟寻求替代对称重排技术的新方法来研究全空间上Adams不等式极值函数的存在性。此外，本项目也将利用爆破分析和临界点理论等工具对四维空间上的单位球和全空间上带有指数增长的高阶方程的量化性质进行深入研究。. 本项目的研究将有助于揭示全空间上Moser-Trudinger-Adams极值函数存在性的一般规律，为进一步研究Adams泛函临界点相关问题提供了一定的理论基础。

本项目研究的Adams不等式极值函数的存在性及相关高阶方程量化性质的研究背景源于非线性泛函中的临界约束泛函的极值问题，几何分析中的预定曲率问题以及二维曲率流的长时间行为，物理中的Chern-Simons-Higgs场理论等重要问题，本项目研究具有非常重要的理论应用价值。本项目的主要研究内容为（1）研究全空间上Adams不等式极值函数的存在性。（2）利用爆破分析，临界点理论等非线性泛函分析的工具研究单位球和全空间上带有指数增长的高阶方程的量化性质。目前本人利用傅立叶重排结合爆破分析法分析了低阶扰动项对全空间上Trudinger-Moser以及Adams不等式极值函数存在性和不存在性的影响，首次给出了四维全空间上临界Adams不等式极值函数的存在性和不存在性结果，并首次利用傅立叶重排技术论证了全空间上Adams不等式极值函数的径向对称性，完整的解决了一个超过10年的公开问题。在该研究之前人们普遍认为只有高阶（指数函数）扰动才会对Trudinger-Moser-Adams不等式极值函数产生影响，本研究表明低阶扰动项也会对极值函数存在性产生影响，这个新发现在一定程度上对Trudinger-Moser-Adams不等式的临界性给出了新的诠释，让人们可以更好的理解了Carlerson和Chang的经典存在性结果在某种意义上只是一种巧合（系数恰好可以保证极值函数存在性）。该成果于2020年发表在国际综合顶级数学期刊Advances in Mathematics上。本项目的研究将有助于揭示全空间上Moser-Trudinger-Adams不等式极值函数存在性的一般规律，为进一步研究Adams泛函的临界点等问题提供了一定的理论基础。同时本项目也为进一步的研究非紧流形上Moser-Trudinger-Adams不等式极值函数的存在性提供了新的思路和方法。