关于三维流形Heegaard分解的i-距离及其应用的研究

The theory of Heegaard splittings is an important part of 3-manifold topology. In 2001, Hempel applied the curve complex theory to introduce the distances of Heegaard splittings to deal with some problems in the theory of Heegaard splittings and related topics. Based on the curve complex theory, we define the i-distances of Heegaard splittings and study the applications of these distances on Heegaard splitting theory. The main contents include defining the i-distances of Heegaard splittings, studying the properties of amalgamation of 3-manifolds and detecting the relationships between these distances. The contents of this project generalize the distance of Heegaard splittings and have important application value for related aspects of Heegaard splitting theory.

Heegaard分解理论是三维流形拓扑的重要组成部分。2001年，Hempel利用曲线复形理论引入了Heegaard分解距离的定义，并利用此距离处理了Heegaard分解理论及相关方面的一些问题。本项目以曲线复形理论为基础，提出Heegaard分解的i-距离的概念，并研究这些距离在Heegaard分解理论上的应用。主要内容有：提出Heegaard分解的i-距离的概念，利用这些距离研究三维流形融合等方面的性质，研究不同维数的距离之间的区别及联系。本项目的研究内容是对Heegaard分解距离的一种推广，同时对Heegaard分解理论各相关方面有重要的应用价值。

Heegaard分解理论是三维流形拓扑的重要组成部分。2001年，Hempel利用曲线复形理论引入了Heegaard分解距离的定义，并利用此距离处理了Heegaard分解理论及相关方面的一些问题。本项目研究了柄体的边界曲面的曲线复形，引入了子曲面的1-距离的概念，并得出结论：对于亏格大于等于3的柄体H，记H的边界曲面为S，F是S的本质连通子曲面，并且F的欧拉示性数小于等于-2，C(S)表示S的曲线复形，AC(F)表示子曲面F的弧和曲线复形，D(H)作为C(S)的子集表示H的圆片复形，pi_F(D(H))作为AC(F)的子集表示D(H)在映射pi_F下的像，则当S\F在H中是可压缩的并且S\F的可压缩子曲面的亏格之和至少是2时，pi_F(D(H))的1-单形全体构成的集合与AC(F)中每个1-单形之间的子曲面1-距离的上界是4。此结论推广了柄体边界曲面的子曲面的弧和曲线复形中0-单形的距离的结论，将0-单形推广为1-单形。此结论对于进一步研究Heegaard 分解的1-距离是有意义的。