拟循环矩阵及其应用

Circulant matrices and quasi-circulant matrices have been extensively applied in various fields including modern science and technology engineering, applied mathematics and computational mathematics. The theory, algorithms and applications for circulant and quasi-circulant matrices have already become a hot research area. This project first studies algebra properties of row first-plus-last right circulant and row first-plus-last skew right circulant matrices. Secondly, we will discuss Gohberg-Semencul type formula for inverses and generalized inverses of row first-plus-last Toeplitz matrices, and solve first-plus-last Toeplitz system by the formula. Thirdly, we will consider hamiltonicity, coloring, energy and laplace indices of left circulant graphs by special structure of left circulant matrix. Finally, we will exploit fast algorithm for visual traching via the better property and beautiful structure of skew circulant matrices.

循环矩阵和拟循环矩阵已被广泛应用在现代科技工程、应用数学和计算数学的众多领域。循环和拟循环矩阵的理论、算法及其应用是一个非常活跃的研究领域。本项目首先研究行首加尾右循环矩阵和行首加尾斜右循环矩阵的代数性质；其次研究行首加尾Toeplitz矩阵的逆及广义逆的Gohberg-Semencul型分解公式并应用于求解相关方程组；再次利用左循环矩阵的独特结构研究左循环图的哈密尔顿性、染色问题、能量和拉普拉斯指标；最后借助斜循环矩阵漂亮的结构和斜循环卷积方法开发视觉跟踪的快速算法。

本项目完成了申报书的全部研究计划，基本达到了所有的预期研究目标。研究了行首加尾Toeplitz矩阵的逆、MP-逆的显示公式，及相关方程组的快速算法，并取得了系列成果；研究了左循环图是哈密尔顿图的充要条件、左循环图的点色数和边色数及左循环图的能量和拉普拉斯指标，并得到了左循环图的拉普拉斯指标的确切值；研究了适合二维、三维数据处理的斜循环结构核矩阵的快速计算方法，并开发了视觉跟踪过程中快速目标匹配程序。共撰写学术论文20篇，已发表SCI检索论文15篇。本项目对深化和拓展循环矩阵、拟循环矩阵类的理论和应用研究具有推动作用，具有一定的理论意义和较好的应用前景。