带正则位势的非线性 Schrodinger 方程的散射理论

The nonlinear Schrodinger equation with regular potential is an important model in physics, which also has great value in mathematics. In this project, we mainly study the scattering theory of the nonlinear Schrodinger equation with regular potential. We will first consider the scattering of the energy-critical nonlinear Schrodinger equation with regular potential in the non-radial case. We will also prove the global wellposedness and scattering theory of the mass-critical nonlinear Schrodinger equation with regular potential, this will denpend heavily on the technique developed by B. Dodson when dealing with the mass-critical Schrodinger equation equation. We will also discuss the long-time behavior of the solution of the combined nonlinear Schrodinger equation with regular potential. This project will deepen the understanding of the long-time behavior of the nonlinear Schrodinger equation with potential.

带正则位势的非线性 Schrodinger 方程是物理中的重要模型，同时在数学上也有很重要的研究意义。 本项目主要研究带正则位势的非线性 Schrodinger 方程的散射理论。我们首先考虑带正则位势的能量临界非线性 Schrodinger 方程在非径向情形的散射。其次，我们还将证明带正则位势的质量临界非线性 Schrodinger 方程的整体适定性与散射理论，这将深入的利用最近由 B. Dodson 开发的一系列处理质量临界非线性 Schrodinger 方程的技术。最后我们研究当带正则位势的非线性 Schrodinger 方程的非线性项为混合非线性项时，方程的解的长时间行为。本项目的研究结果将会加深人们对带位势的非线性 Schrodinger 方程的长时间行为的理解。

非线性Schrödinger方程是物理中的重要模型，这类方程在非线性光学、等离子体物理和凝聚态物理等学科中有重要的应用。在过去三十年中，关于非线性Schrödinger方程的适定性与长时间动力学行为的研究取得了很多重要成果，但是对于带位势的非线性Schrödinger方程的解的长时间动力学行为研究还处于起步阶段。在本项目中，我们主要研究带正则位势的非线性Schrödinger方程的解的长时间动力学行为，特别是带正则位势的非线性Schrödinger方程在能量临界和质量临界情形的适定性与散射理论。此外，我们也讨论了圆柱上的非线性Schrödinger方程以及非线性Klein-Gordon方程等非线性色散方程的散射理论。在本项目中，我们完成了带正则位势的非线性Schrödinger方程的解的长时间行为的研究。对于带正则位势的能量临界非线性Schrödinger方程，我们给出了非径向情形的整体适定性与散射。对于带正则位势的质量临界非线性Schrödinger方程，我们建立了相应的双线性Strichartz估计，给出了profile分解，运用B.Dodson处理质量临界非线性Schrödinger方程的技术，我们成功给出了带正则位势质量临界非线性Schrödinger方程的散射理论。此外，我们讨论了带正则位势的非线性Schrödinger方程当非线性项为混合非线性项时解的长时间行为。对于圆柱上的非线性Schrödinger方程，我们给出了三次非聚焦非线性Schrödinger方程在三维圆柱以及五次非聚焦非线性Schrödinger方程在二维圆柱上的散射，并且在我们的论文中，解决了Z.Hani和B.Pausader在著名数学杂志Communications on pure and applied mathematics上发表的论文中的猜想，从而彻底解决了五次非聚焦非线性Schrödinger方程在三维圆柱上的散射。对于非线性Klein-Gordon方程，我们成功的解决了三维及三维以上的质量临界非线性Klein-Gordon方程的散射，从而解决了这个长达十年未解决的问题，彻底完成了质量临界非线性Klein-Gordon方程的散射理论。