Finsler度量的曲率性质与ample全纯向量丛

We study geometric and topological properties of complex Finsler vector bundles, especially the relation of the topology and the curvature of the Finsler metric on a vector bundle. More concretely, we study the following three aspects: 1) Establish a Chern-Weil theory for complex Finsler vector bundles, i.e. try to express Chern classes in term of Finsler metric. 2) Study positivity problems of ample holomorphic bundles by using complex Finsler geometric methods. 3) Study geometric and topological properties of holomorphic bundles with Finsler metrics of positive curvature, especially the relation with the ampleness of the bundles. Through this research, we hope to have further understanding of the geometry of complex Finsler vector bundles, and to promote its application in algebraic geometry, complex analysis, complex geometry and other areas in mathematics.

本项目旨在研究流形上复Finsler向量丛的几何与拓扑性质，研究目标主要集中在该向量丛上Finsler度量的曲率性质与其拓扑性质之间的关系方面。具体地我们拟开展如下三方面的研究：1）关于复Finsler向量丛的陈-Weil理论的研究，探索用Finsler度量表示该向量丛的陈类问题；2）着力研究用复Finsler几何的方法处理联系于ample全纯向量丛的某些正性问题；3）研究具有正弯曲Finsler度量的全纯向量丛的某些几何与拓扑性质，特别是与该全纯向量丛的ample性质之间的关系。我们期望通过这些研究与探索，能进一步加深对复Finsler向量丛几何本身的理解、促进其在代数几何、复分析、复几何等研究领域中的应用。

本项目的主要研究内容是关于全纯Finsler向量丛的几何与拓扑性质，目标集中在该向量丛上Finsler度量的曲率性质与其拓扑性质之间的关系方面。目前本项目已完成了我们原定的研究计划。本项目主要在如下四个方面取得一些重要的研究成果:1) 利用全纯向量丛上的Finsler度量给出了该丛陈类的陈-Weil表示,解决了J.Faran的一个相关问题。作为应用，证明了具有正Kobayashi曲率的全纯Finsler向量丛的某些示性类的正性。这些结果在寻求丰沛（ample）全纯丛陈数正性的微分几何证明有潜在的应用；2）对于全纯向量丛上强拟凸Finsler度量引入了一个Donaldson型泛函，并证明了该泛函的极小值点为Finsler-Einstein度量，回答了Kobayashi提出的一个相关问题。作为推广还研究了带有一个相对丰沛线丛的全纯纤维丛引入了非线性稳定性与测地Einstein度量的概念，它们是全纯向量丛半稳定性及Hermitian-Einstein度量的相应推广。通过在线丛的允许度量类上引入了一个Donaldson型泛函，研究了线丛的非线性稳定性与测地Einstein度量存在性之间的关系。作为应用证明了全纯向量丛上存在Hermitian-Einstein度量的充要条件是其上存在一个Finsler-Einstein度量；3）直接利用Siu-Yau的方法直接证明了具有正的正交双截曲率的紧Kaehler流形双全纯等价于复射影空间。这一证明避免了Chen-Gu的Kaehler-Ricci流的分析技术；4）得到了关于复Finsler度量的全纯截曲率的一个不等式，并由此给出了Yau的Schwarze引理在Finsler情形的一个推广。进而在某种条件下还证明了具有半正但不恒为零全纯截曲率的复Finsler流形有负的Kodaira维数。本项目的研究对于复Finsler几何及其在代数几何中的应用方面具有较大价值。