张量分解与最优化及其在信息处理中的应用

这是一个交叉学科的研究项目。张量分解是矩阵特征值和奇异值分解的推广，它和最优化密切相关，在图像处理、信号处理、心理学、生物信息技术、海量数据天气预报、医疗工程、数据挖掘中都有广泛的应用。张量分解绝不是矩阵分解的简单推广，它比矩阵分解要复杂得多。随着最优化和计算数学专家的加入，张量分解与计算正在成为一门新的学科。本项目将采用现代最优化技术，结合代数几何知识和矩阵方法，研究一般高阶张量的性质（包括张量的秩、特征值、奇异值、分解定理和低秩逼近定理），提出有效实用的张量分解方法，非负张量分解的性质与算法，基于张量模型的最优化方法，与多项式优化相关的理论与算法，并用以解决核磁共振陡度成像、交通工程、金融优化等张量应用中的问题。

张量分解和最优化是一个涉及交叉学科的研究项目，在信息科学、医疗工程、大数据处理中有广泛的应用。在这个课题中，我们研究了张量分解与最优化新的理论与方法及其应用。 我们提出了非负张量分解的交替方向法， 张量秩一逼近的SUDO算法；提出了非负张量分解的分层消去法、LZI算法，并把这些结果应用于处理医疗信息系统。我们给出了张量特征值问题的多项式优化算法，求Hankle 张量最大或最小特征值的一阶优化算法，并进行了张量特征值互补问题的系统研究。我们还利用交替方向法解决了核磁共振中扩散张量正定性的问题，新算法比现有算法快10倍。在最优化方法研究中，我们系统提出了处理各类优化问题的锥模型信赖域优化方法，开创性地提出了渐弱过滤集优化技术，提出了无导数优化的新技术。另外，我们进一步研究了交替方向法， 解决了解多个函数、多个变量的线性约束优化问题和多集分裂的可行问题。对于广义Nash 均衡问题的投影类算法，设计了有效的数值方法，证明了方法的收敛性。本项目还系统研究了张量分解和优化方法在医疗工程、量子通讯、信号处理、神经网络、交通信息、投资保险中的应用。. 在这个课题中，项目组发表了75篇学术论文（见论文表），其中SCI收录论文59篇， 圆满完成了各项预订计划。