曲率方程以及与拉格朗日子流形相关的一些几何问题研究

The scalar curvature equations in the conformal class and Lagrangian submanifolds are important research topics in geometric analysis and have been widely used in differential geometry and physics. In this project, we first apply some recent progress in the field of scalar curvature equations, including the conformal isospectral problems, the Kazdan-Warner problem on the zero scalar curvature manifolds, Gauss-Bonnet-Chern formula on conformal compact manifolds, etc to study the related problems. On the other hand, we want to further develop our research on Lagrangian surfaces in four-dimensional symplectic manifolds, construct Lagrangian surfaces and study the minimal genus of Lagrangian surfaces.

共形类中的数量曲率方程和Lagrange子流形是几何分析中重要研究课题，在几何与物理中有着广泛的应用。本课题一方面拟应用申请人在数量曲率方程领域的一些最新观察研究一些相关的问题，包括共形等谱问题，零数量曲率流形上的Kazdan-Warner问题，共形紧完备流形上的Gauss-Bonnet-Chern公式等；另一方面，我们想进一步发展四维辛流形中与拉格朗日曲面相关的问题的研究，在四维辛流形中构造拉格朗日曲面；研究固定同调类中拉格朗日曲面的最小亏格。

共形类中的数量曲率方程和Lagrange子流形是几何分析中重要研究课题，在几何与物理中有着广泛的应用。本课题一方面拟研究数量曲率方程领域的一些相关的问题，另一方面，我们想进一步开展四维辛流形中与拉格朗日曲面相关的问题的研究，研究固定同调类中拉格朗日曲面的最小亏格。我们证明了在数量曲率超临界积分模有界条件下的塌缩序列可在伸缩后收敛；推广了Helein收敛定理；证明了Ricci曲率在L^p中有界,p>n/2时，共形度量序列在C^(1,α)意义下收敛；任意四维辛流形(X, ω)的每个Z_2系数二维同调类都可以表示为嵌入不可定向拉格朗日曲面； 得到了二维同调类亏格只依赖同调代数的下界估计；研究了Vafa-Witten方程组的模空间，证明了当4维流形上的主丛的结构群是SU(2)或SO(3)时，模空间的满秩部分总是横截的，从而是一个零维可定向光滑流形。