有限一般线性群的unipotent Specht模与Supercharacter理论

The representation theory is one of the most attractive subjects in the international mathematical research fields. In particular, the representation theory of the finite groups played an important role in the classification of the finite simple groups. After solving this difficulty, the main problems in the representation theory of the finite groups can be reduced to the ones in the representation theory of the finite simple Lie groups. The finite general linear group G is one type of the finite Lie groups. Since some properties of the representation theory of G is quite similar as the ones of the representation theory of the symmetric groups, Dipper-James put forward a conjecture concerning the standard bases of the unipotent Specht modules for the finite general linear groups. In this project, we shall focus on this conjecture. In the previous work of the applicant, this conjecture was proved for some special cases. Hence it is natural to consider a generalization of the method there to the general cases. Through investigating the restriction of the unipotent Specht modules to the lower unitriangular groups U and the U-supercharacter theory introduced by André-Yan, the standard bases of the unipotent Specht modules are hoped to be constructed. Moreover, the supercharacter theory of U and its subgroups will also be studied and we believe this will shed some light on the longstanding conjecture of Higman, which concerned on the number of the conjugacy classes of U.

表示理论是当前国际数学研究的前沿课题，其中有限群的模表示理论对有限单群的分类问题起了至关重要的作用。该分类问题解决后，有限群模表示论的主要问题常归结为有限李型单群的表示问题。有限一般线性群G是有限李型群中的一类，考虑到它的许多表示性质与对称群的表示性质类似，Dipper-James提出了G的Unipotent Specht模的标准基猜想。本项目将围绕这一猜想展开研究。在前期研究中本人已证明该猜想在某些特殊情况下是正确的。本项目拟将该证明方法进行推广，预计通过对Unipotent Specht模在幂幺下三角群U上的限制的研究，结合近年来由André-Yan引入的supercharacter理论，构造出与对称群的标准基类似的Unipotent Specht模的标准基。另外，本项目还将研究U及其子群的supercharacter理论，以期对Higman关于U的共轭类个数的猜想起到推动作用。

本项目主要进行了以下研究工作：（1）Dipper-James提出的Unipotent Specht模的标准基猜想相关问题研究。该猜想在分划为2时已由负责人和Brandt-Dipper-James-Lyle分别独立给出过证明，但是基的具体形式并不明确。本项目通过对Unipotent Specht模在单位上三角矩阵群U上的限制的研究，并结合Hecke-代数的相关理论，给出了分划为2时Unipotent Specht模的标准基的具体形式。当分划长度为n时，我们的研究课题与Higman关于共轭类个数的猜想有着紧密联系。（2）U的子群的supercharacter理论研究。近年来由André-Yan引入的U的supercharacter理论，对Higman猜想起到了一定的推动作用。而我们对Unipotent Specht模的研究也提示我们相关理论的重要性。因此本项目研究了U的两类子群：列封闭子群和行封闭子群。我们推广了Yan的coadjoint cluster表示，完成了这两类子群的supercharacter和superclass分类工作。(3) B,C,D李型有限群的 p-Sylow子群的正则表示研究,其中p是基域的特征且不为2。我们对正则表示进行了monomial linearisation构造，形成一系列轨道，我们在其中找出了一部分特殊轨道，使得每一个monomial轨道模都与其中之一同构。同时我们证明了Andrè-Neto 构造的supercharacter可以分解成这类轨道模所对应的特征标的直和。另外，我们还定义了一类更加特殊的轨道模，称为main separated轨道模。我们证明了每一个不可约子模都可以看成是main separated轨道模中的一个的不可约直和项，而且对于B,D型李型有限群，main separated轨道模所对应的特征标或者是正交的或者是相同的。