准序拓扑向量空间中的变分原理和向量优化

This project will study Ekeland variational principle and vector optimization in pre-ordered topological vector spaces. Ever since Ekeland gave his famous variational principle (in short, denoted by EVP) in 1972, there have been a lot of various extensions of the principle. Over last four decades, now EVP has become one of the most important results in nonlinear analysis. Motivated by this wide usefulness, many scholars have been interested in vector-valued and set-valued EVPs. By extending p-distances and q-distances to vector values, we try to establish a general vector-valued EVP, which can unify the various known vector-valued EVPs. Moreover, we will give a very general pre-order principle. From this, we can deduce all of the known set-valued EVPs and their improvements. Also, we will research vector-valued and set-valued EVPs where objective functions are defined on fuzzy metric spaces and probabilistic metric spaces. By using topological structures, geometry properties and dual theory of topological vector spaces, we will investigate the existence and the domination property for efficient points. And we will give scalarization theorems, density theorems, Lagrange multiplier theorems and saddle point theorems of properly efficient points (solutions) for vector optimization problems.

本项目研究准序拓扑向量空间中的 Ekeland变分原理和向量优化。自从 Ekeland 在1972年给出著名的变分原理（简记为 EVP）以来，其各种形式的推广不断涌现。历经40余年，EVP 已成为非线性分析中最重要的结果之一。由于其广泛应用，向量型和集值型的 EVPs 引起了许多学者的兴趣。我们试图将 p-距离和q-距离开拓到向量值，从而建立一个一般形式的向量型EVP，它可以统一已有的各种形式的向量型EVPs。更进一步，我们拟给出一个非常一般的准序原理，由此可推出所有已知的集值型EVPs 及其改进。我们还将研究目标函数定义于模糊度量空间和概率度量空间上的向量型和集值型 EVPs。应用拓扑向量空间的拓扑结构、几何性质和对偶理论，我们将研究有效点的存在性和可控性；进而给出向量优化真有效点（解）的标量化定理、稠密性定理、Lagrange乘数定理和鞍点定理。

Ekeland 变分原理是非线性分析中最重要的结果之一。由于它的广泛应用，其各种形式的推广不断出现。按研究目标，我们主要研究目标映射取值于准序拓扑向量空间的Ekeland 变分原理。我们在向量型 Ekeland 变分原理， 集值型 Ekeland 变分原理，扰动包含集合的 Ekeland 变分原理，扰动包含广义距离的 Ekeland变分原理，均衡形式的 Ekeland 变分原理，模糊距离空间上的 Ekeland 变分原理，拟距离空间上的 Ekeland 变分原理等诸多方面取得一系列成果。这些成果有的改进了已有的结果，有的开拓了变分原理的框架和应用范围。特别地，引入了广义 Gerstewitz 函数，利用它, 我们获得了 Nemeth 意义的 $\epsilon$-有效解的向量型 Ekeland 变分原理，它完全去掉了已有结果中关于目标函数值域的有界性的通常假设，从而本质上改进了已有结果。我们还建立了一种改进的准序原理，它不但蕴涵了我们已知的绝大多数仅涉及通常距离的集值型变分原理，还可导出扰动项包含集合和各类广义距离的 Ekeland 变分原理。我们进一步研究了 Ekeland 变分原理在均衡问题、向量优化、行为科学和行为动力系统的应用。. 关于局部 p-凸空间，我们给出了该类空间的拓扑构造和对偶表示。关于不动点理论，给出了目前国际上常用几种定理的真改进和推广。特别地，建立了统一当今几种不动点定理的新形式。解决了国际上提出的一些关于不动点理论的公开问题。