有限群的子群嵌入、关系和本原群及其应用

There are three aspects in this project: .1. The relationship between the embedded and structure of subgroups and the structure or property of finite groups. Comprehensive existing some embedded properties of subgroups, such as generalized normality, we will study the residual on different formation, find some new embedded properties and open up some new research fields, such as embedded Hall, etc..2. The relationship between quantity information, relation, graph and group structure and some unsolved problems in group theory. We will explore the quantity and graph characterization of groups and study question associated with G. Zappa (1962) question, that is, the nontrivial coset of Sylow subgroup contains elements of the prime power order and one well-known problems of Thompson..3. Relationship between permutation groups and transformation semigroups and Cerny conjecture. We will study the primitive permutation group and its application in the theory of automata, the mutual determination of group theory and transformation semigroup. Ultimately, we will xplore the use of group theory as a tool to solve the Cerny conjecture.

本项研究主要有三个方面：.1. 子群的嵌入、结构状况与群的结构或性质之间的关系。 综合现有子群的一些嵌入性质，如子群的广义正规性，考察其对不同群系的剩余、找到一些新的嵌入性质、开辟一些新的研究领域，如Hall嵌入性等。.2. 与群有关的数量信息、关系、图与群结构的关系及群论中的一些未解决问题。实现一些群类的数量和图的刻画、探索群论的图论化的可能性。研究与 G. Zappa(1962) 问题有关的Sylow子群的非平凡陪集包含素数幂阶元问题和Thompson的一个著名问题的解决. .3. 置换群与变换半群的性质间的关系和Cerny猜想。 研究本原置换群及其在自动机理论中的应用，群论与变换半群的相互确定性。探索用群论作为工具解决Cerny猜想。

有限单群分类完成之后, 群论的研究在内容、方法、工具和观念上都发生了重大变化, 得到快速发展。本项目的研究主要围绕以下三个方面：.1.子群的嵌入、结构状况与群的结构或性质之间的关系。利用一些类型的子群的嵌入性质给出了一些群类的新刻画。引入了子群的CI性的概念，成功地利用一些类型的子群的CI性给出了一些群类的刻画，获得了一系列结果。 群的Sylow化子的概念和共轭性的研究是由著名群论学家Gaschutz提出并首先研究，我们把相关的工作发展到非可解群，并对Sylow化子的其他性质对群结构的影响进行了探索性研究，得到了一系列深刻的结果。 .2. 与群有关的数量信息、关系、图与群结构的关系。用共轭类的长度、特征标次数及相关的图给出了一些群类及群的性质的刻画，取得了大量结果。.3.置换群与变换半群的性质间的关系和Cerny猜想。同步的概念是自动机理论中与Cerny猜想密切相关的一个概念。G是一个可迁非本原群，α是一个非一致内核变换。我们提供了一种方法确定〈G，α〉是否是同步半群，给出了〈G，α〉是同步半群的条件。