解析Hilbert模的本质正规性与渐进表示

The major object of this project is to study the essential normality of analytic function Hilbert modules over the unit balls and the polydiscs. Essential normality is one of the central problems of geometric analysis on Hilbert modules, and is in deep link to areas of mathematics such as algebraic geometry, C*-extension theory, BDF-theory, index theory, etc. Essential normality of Bergman submodules over the unit ball is intrinsically related to their approximate representations. This project will first make investigations on approximate representation, to deepen the study on essential normality of Hilbert modules, and to find more general classes of essentially normal submodules. Secondly, essential normality of Hilbert modules over the polydiscs is intrinsically connected to boundary properties of their algebraic variety, and we will make deep investigations on it by tools of dimension theory and Berezin transform etc., and make best efforts to characterize the compactness of commutators of multiplication operators and non-triviality of the K-homology elements.

本项目主要研究单位球和多圆盘上解析函数Hilbert模的本质正规性. 这是Hilbert模几何分析的中心问题之一，与代数几何、C*-扩张理论、BDF理论、指标理论等数学分支有深刻的联系. 单位球上Bergman子模的本质正规性与渐近表示有着本质的联系. 本项目拟首先对此展开考察以进一步深化对Hilbert模的本质正规性的研究，从而找到更广泛类型的本质正规子模. 其次，多圆盘上Hilbert模的本质正规性与对应零簇的边界性质有内在的联系，本项目拟通过维数理论与Berezin变换等理论工具对此作进一步的考察，并尽可能地刻画乘法算子换位子的紧性以及相应的K-同调元的非平凡性.

本项目主要研究单位球及多圆盘上的解析函数Hilbert模的本质正规性。自W. Arveson提出他的猜想以来，该问题因为与代数几何、BDF-理论、指标理论等数学分支的密切联系，成为Hilbert模几何分析的中心问题之一。我们在多圆盘上分析了齐次准素理想的商模的结构，证明了具有Distinguished零簇的齐次商模都是本质正规的。以此为基础的进一步的研究给出了多圆盘上齐次Hardy商模本质正规性的完全的判别准则，彻底解决了多圆盘上齐次商模的本质正规性问题。该判别准则的证明方法完全适用于加权Bergman商模，这是在非Hardy模上首次得到关于本质正规性的非平凡结果。此外，我们证明了相应的C*-扩张非平凡性，与指标理论建立关联。我们还将商模本质正规性的判别准则推广到拟齐次商模，得到了相应的判别法。..复合算子是线性算子理论的一个重要的研究对象。我们研究了Hardy空间上非解析符号诱导的投影复合算子的有界性和紧性，给出了一般性的判别法。