半参数模型的估计有效性问题的研究

Semiparametric models could fit the high dimensional data efficiently and avoid the so called "curse of dimensionality" problem, and they are one of the top popular researching problems in recent years. As an important evaluation indicator, efficiency of estimators is an important measurement to evaluate the performance of estimators. On the other hand, in practice, we often obtain the data sets which are not complete, some of them are missing. The missing data problem makes estimation being difficult and how to obtain an efficient estimator is a new challenge to us. The project plans to study the efficiency of estimators of the partially linear single index model, varying-coefficient single index model and varying-coefficient partially linear model under the complete sample and the missing data with responses missing at random. This project will utilize the tangent space generated by the interested parameters and the nuisance tangent space generated by the nuisance parameters to construct the efficient score function, and obtain the efficient boundary of the considered semiparametric models under the complete data set. Furthermore, the augmented inverse probability weighted complete case method will be used to construct the efficient score function and the efficient boundary of semiparametric models when responses are missing at random, and the asymptotic properties will also be proved. For the partially linear single index model with high dimensionality, this project intends to use the smooth threshold estimating equations and the efficient estimating equations to do variable selection, the efficient estimators and the variable selection will be done simultaneously.

作为能够有效的拟合高维数据，避免“维数祸根”问题的半参数模型是目前国内外研究的热点问题之一。作为评价模型参数估计的一个重要指标，估计有效性，是衡量估计好坏的一个重要标准。实际问题中经常会遇到数据存在缺失的情况，给我们研究模型参数估计的有效性提出了新的挑战。本项目拟对部分线性单指标模型、变系数单指标模型和变系数部分线性模型在完全样本下和响应变量随机缺失下的估计有效性进行研究，利用感兴趣参数空间与冗余参数空间构造有效得分函数，得到完全样本下模型的半参数有效界，进一步利用扩展的逆概率加权估计方程构造响应变量随机缺失情况下的有效得分函数和半参数有效界。对每类模型分别计算他们在完全数据与缺失数据下的有效估计，并给出渐近性质。对于变量维数过高的部分线性单指标模型，本项目拟利用Smooth threshold估计方程方法结合有效估计方程，对模型进行参数估计和降维，在变量选择的同时得到参数的有效估计。

作为能够有效的拟合高维数据，避免“维数祸根”问题的半参数模型是目前国内外研究的热点问题之一，半参数模型在经济金融、生态学、药物研究、社会学等科学研究领域中占有重要的地位。实际问题中经常会遇到高维数据、缺失数据的情况，给我们研究半参数模型的估计和降维提出了新的挑战。本项目研究了部分线性单指标模型，变系数单指标模型和变系数部分线性模型等半参数模型的估计和变量选择问题，取得的主要成果有：利用正交投影、非参数拟合、扩展的逆概率加权等方法构建了完全数据下和响应变量随机缺失下部分线性单指标模型的有效估计方程，得到有效估计；并推导出变系数单指标模型和变系数部分线性模型在完全数据下感兴趣参数的半参数有效界，得到其有效估计；利用Smooth threshold估计方程方法，惩罚损失函数法等方法，结合有效估计方程，给出部分线性单指标模型满足Oracle性质的变量选择方法，且在变量选择的同时得到有效估计。本项目还对所研究内容进行了一系列的推广，提出了基于广义似然比统计量的检验方法，用于检验在响应变量随机缺失下部分线性单指标模型的参数部分是否满足线性假设；给出基于广义估计方程（GEE）和二次推断函数（QIF）方法的纵向数据下部分线性单指标模型的估计、检验和变量选择方法；提出了处理广义部分线性单指标模型的满足Oracle性质的变量选择方法，并证明了估计的大样本性质；研究了基于COX模型的变系数部分线性模型的估计和变量选择问题；基于固定效应和为零的假设，研究了带有固定效应的单指标模型的估计和检验问题。本项目在理论结果的基础上进行了大量的模拟研究，结果表明我们所提方法的优越性。同时，我们也利用这些方法分析了一些实际数据，体现出我们所提方法是实际有效和切实可行的。本项目完成论文11篇，其中已发表和接收的论文8篇（包含SCI论文6篇），在审论文3篇。