单叶函数族及其子集合的非线性积分算子研究

This project concernes with the integral transforms of two classical subclasses of univalent functions-class of close-to-convex functions and the subclass of univalent functions related to Caratheodroy functions, and mainly studies the univalence of these transforms. Firstly, thorough the discusses of the regions of variablilities of some subclasses of univalent functions, the pre-Schwarzian norms of the integral transforms are given, then by making use of Becker-Pommmerenke'univalence criterion, the univalences of new analysis functions created from the integral transforms of univalent functions are researched, thus E. P. Merkes' open problem will be solved and the parametric conditions on univalence of transforms will be given.

本项目以两类重要的单叶函数子族-拟凸函数族和与Caratheodory函数族有关的单叶函数族的非线性积分算子为主要研究对象， 集中研究单叶函数经过积分变换后的几何性质。 首先通过对单叶函数子集合变形区域的讨论，给出了两类单叶函数子族在积分变换下的pre-Schwarzian范数；然后利用Becker–Pommerenke的单叶性判定定理对积分变换下生成的新的解析函数的单叶性进行讨论，从而解决了E. P. Merkes的猜想，并且给出了积分算子保持单叶性的参数条件。

本项目主要研究了拟凸函数这一类函数族的性质，包括其分形区域以及非线性积分变换的单叶性。首先，对于给定的拟凸函数$f$和单位圆的固定一点$z$,给出了$z/f(z)$和$zf'(z)/f(z)$的分形区域，并且得到$zf'(z)/f(z)$的全分形区域是整个复平面去掉原点；而且利用这些结果讨论了$\log z/f(z)$和$\log zf'(z)/f(z)$的分形区域。 其次，.本项目还给出了定义在拟凸函数族上的非线性积分变换$J_{c}[f]=\int_{0}^{z}\left(f'(\xi)\right)^{c}{\rm d}\xi$的pre-Schwarzain 范数, 其中$c$为任意常数, 并根据Becker的单叶性判定定理给出了$J_{c}[f]$将拟凸函数$f$变换成单叶函数的条件。